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从一个例子入手分析，如图3.1.1（a）所示的弹簧质量阻尼系统，在2.1.2节中曾经分析过，它的动态微分方程为
其中， x （ t ） 是位移，方向向右； m 是质量； b 是阻尼系数； k 是弹簧系数； f （ t ） 是外力。
图3.1.1 弹簧质量阻尼系统与框图
令此系统的输入等于外力，即
u
（
t
）
=
f
（
t
）
，系统的输出等于位移，即
y
（
t
）
=
x
（
t
）
。第2章介绍了经典控制理论中使用传递函数来描述系统的方法，对式（3.1.1）等号两边分别进行拉普拉斯变换，并将
u
（
t
）
=
f
（
t
）
、
y
（
t
）
=
x
（
t
）
代入进行调整，同时假设零初始条件
，可以得到系统的传递函数为
式（3.1.2）所对应的系统框图如图3.1.1（b）所示。
对于同样的系统，在现代控制理论中则会使用状态空间方程的表达方式。状态空间方程是一个集合，它包含了系统的输入、输出及状态变量，并把它们用一系列的一阶微分方程表达出来。对于本例中的二阶系统，为了将其写成状态空间方程，只有选取合适的
状态变量
（State Variables），才能使二阶系统转化为一系列的一阶系统。根据这个要求，选取两个状态变量
和
，其中
根据式（3.1.4），取
对时间的导数，并将式（3.1.1）和
u
（
t
）
=
f
（
t
）
代入其中，可得
现在将式（3.1.3）~式（3.1.5）写成紧凑的矩阵表达形式，可得
而系统的输出 y （ t ） = x （ t ） 也可以写成矩阵形式，即
式（3.1.6）和式（3.1.7）是图3.1.1中弹簧质量阻尼系统的状态空间方程。
上述形式可推广并得到状态空间方程的一般形式，即
其中，
z
（
t
）
是状态变量，是一个
n
维向量，
；
y
（
t
）
是系统输出，是一个
m
维向量，
；
u
（
t
）
是系统输入，是一个
p
维向量，
。
这说明，当使用状态空间方程来描述系统时，有 n 个状态变量、 m 个输出和 p 个输入。它可以表达多状态、多输出、多输入的系统。其中，矩阵 A 是 n × n 矩阵，表示系统状态变量之间的关系，称为 状态矩阵 或者系统矩阵。矩阵 B 是 n × p 矩阵，表示输入对状态变量的影响，称为 输入矩阵 或者控制矩阵。矩阵 C 是 m × n 矩阵，表示系统的输出与系统状态变量之间的关系，称为 输出矩阵 。矩阵 D 是 m × p 矩阵，表示系统的输入直接作用在系统输出的部分，称为 直接传递矩阵 。状态空间方程符号说明见表3.1.1。
表3.1.1 状态空间方程符号说明
以上述弹簧质量阻尼系统为例，参考式（3.1.6）和式（3.1.7），其状态变量
，是
n
=2维向量。输出
y
（
t
）
=
x
（
t
）
，是
m
=1维向量。输入
u
（
t
）
=[
u
（
t
）
]=[
f
（
t
）
]，是
p
=1维向量。因此，对应的状态矩阵
，是一个
n
×
n
=2×2的矩阵。输入矩阵
，是一个
n
×
p
=2×1的矩阵。输出矩阵
C
=10[]，是一个
m
×
n
=1×2的矩阵。直接传递矩阵
D
=[0]，是一个
m
×
p
=1×1的矩阵。因为它只有一个输入和一个输出，所以本系统属于
单输入单输出
（Single Input Single Output，SISO）系统。
下面请看一个 多输入多输出 （Multiple Inputs Multiple Outputs，MIMO）系统的例子。
根据图3.1.2所示的电路网络，列出其状态空间方程表达式。其中，系统有两个输入
和两个输出
。
图3.1.2 多输入多输出电路系统
若要建立上述系统的状态空间方程，首先要掌握它的动态微分方程。这个系统可以考虑成两个闭合回路，在每一个闭合回路里面使用基尔霍夫电压定律。可以得到闭合回路1
闭合回路2
其中，
将式（3.1.9c）代入式（3.1.9a）和式（3.1.9b）并进行调整，得到
选取系统的状态变量
，其中，
将式（3.1.10a）、式（3.1.10b）代入式（3.1.9d）和式（3.1.9e），调整后可得
将式（3.1.11a）、式（3.1.11b）写成紧凑的矩阵形式，得到
系统输出
，可以表达为
将式（3.1.12）和式（3.1.13）写成一般形式，可以得到系统的状态空间方程，即
其中，
；
。