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在传递函数的定义中有一个先决条件，即零初始条件。但在实际情况中，往往需要处理非零初始状态的系统。本节将对此内容进行简单的探讨，考虑一个一阶微分方程：
对式（2.4.1）两边进行拉普拉斯变换，根据例2.2.4，可得
在零初始条件下（ x （0） =0），式（2.4.2）可写成 sX （ s ） + aX （ s ） = U （ s ） ，系统的传递函数是
而当 x （0） ≠0时，式（2.4.2）可以写成
此时定义新的系统输入：
，代入式（2.4.4）中，得到
式（2.4.3）和式（2.4.5）的系统框图如图2.4.1所示。可见这两个系统的传递函数是相同的，其中非零初始条件系统多出一个输入，而这个输入的拉普拉斯变换等于其初始条件 x （0） 。对它进行拉普拉斯逆变换可以得到其原函数，即
图2.4.1 零初始条件和非零初始条件系统框图
其中， δ （ t ） 是单位冲激函数，在2.1.1节介绍过，可以把它理解为在很短的时间内释放出的一个单位的能量。将它乘以一个系数 x （0） ，则相当于在一瞬间对系统施加了 x （0） 个单位的能量（系统的输出也将叠加 x （0） h （ t ） ）。因为这个能量是瞬间的，并不持续，所以它不会影响到系统的稳定性分析与特征分析。高阶系统的非零初始条件的分析则比较复杂，但是其理念与一阶系统相同，系统的初始状态可以理解为瞬时间赋予系统的“能量”。