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本节将介绍 传递函数 （Transfer Function），它是经典控制理论的基础。系统的传递函数 G （ s ） 的定义是：在零初始条件下，系统输出的拉普拉斯变换 X （ s ） 与系统输入的拉普拉斯变换 U （ s ） 之间的比值，即
式（2.3.1）所示系统可以用框图表示，如图2.3.1所示，其中， U （ s ） G （ s ） = X （ s ） 。
图2.3.1 动态系统框图
根据表2.2.1，单位冲激函数
δ
（
t
）
的拉普拉斯变换
1，系统对其响应为
式（2.3.2）说明，当单位冲激函数作用在线性时不变系统上时，其输出（即系统的单位冲激响应）等于传递函数本身。
式（2.3.2）从另一个角度验证了2.1.1节中提出的重要概念：单位冲激响应可以完全地定义线性时不变系统。同时，根据例2.2.5，卷积运算通过拉普拉斯变换成为乘法运算，这也符合式（2.3.1）所表达出来的输入与输出之间的乘积关系。希望读者可以把这几部分内容结合起来理解，从不同的角度理解线性时不变系统的特性。
经过拉普拉斯变换后，卷积关系的系统输入与输出 x （ t ） = u （ t ） * h （ t ） 被简化为乘积关系 X （ s ） = U （ s ） G （ s ） ，这将在很大程度上简化系统分析的复杂程度。回到图2.2.1的例子，首先对式（2.2.2）左右两边进行拉普拉斯变换，得到
其中， L 是电感， R 是电阻，它们都是正数。考虑零初始状态，即系统输出 x （ t ） 的初始状态为 x （0） =0，式（2.3.3a）可写成
其传递函数为
当一个常数输入 u （ t ） = C 作用在系统上时，其拉普拉斯变换为
将式（2.3.5）代入式（2.3.4）中，可以得到系统输出的拉普拉斯变换为
若要分析这一系统输出的时间函数 x （ t ） 的表现，可以采用2.2.3节中的方法求解其拉普拉斯逆变换。式（2.3.6）可以写为
利用分式分解法可得
，代入式（2.3.7）中，得到
对式（2.3.8）两边进行拉普拉斯逆变换，便可以得到系统的输出，即
x
（
t
）
随时间的变化如图2.3.2所示。从图中可以得出，系统的输出将从0开始，随着时间的增加而无限地接近一个定值
。
图2.3.2 系统输出
随时间变化
式（2.3.9）中，
x
（
t
）
由两项相减组合而成，分别是
和
，第一项中e的指数部分系数是0，因此
等于常数
；而第二项中指数部分系数为
，表明项
会随着时间的增加而不断地衰减，直到为0。所以，系统输出
x
（
t
）
是有界限的，并且随着时间的增加而趋向于常数
。在式（2.3.6）中，当系统输出
X
（
s
）
的分母部分等于0时，可以得到
s
p1
和
s
p2
被称为系统输出的
极点
（Poles），其中，
s
p1
是输入
引入的极点。
则是
传递函数的极点
，这是动态系统自身的极点，体现了动态系统的特性，它可以直接通过传递函数的
特征方程
（Characteristic Equation），即令
G
（
s
）
的分母部分为0（
Ls
+
R
=0）得到。
在此例中，
s
p1
=0，而
，所以输出
x
（
t
）
将会趋于一个常数。以上的分析说明，在得到系统的传递函数之后，便可以通过简单的代数计算得到系统输出的极点，并以此为依据快速判断系统的表现。也就是说，在得到式（2.3.6）之后就可以判断系统的表现了，这省去了大量的中间过程，并且避免了求解微分方程和卷积的麻烦。
传递函数是动态系统中描述输入与输出关系的重要工具，它反映了系统对输入信号的响应。在现实生活中，传递函数必须符合 因果定律 （Principle of Causality），这意味着系统的输出不能在其输入之前发生变化。从卷积的角度理解，系统输出是通过对输入信号的历史记录进行加权求和得到的结果，所以动态系统输出对时间的导数的阶数一定不大于输入对时间的导数的阶数。
因此，在实际应用中，动态系统的传递函数一定是真分数形式。真分数传递函数是指其分母中的
s
阶数大于或等于分子中的
s
阶数。当分母和分子的阶数相等时，这种传递函数被称为真分数传递函数，比如
。而当分母的阶数大于分子的阶数时，称之为严格真分数传递函数，比如
，这种情况在2.1.2节的所有例子中都有所体现。