2.2.2 拉普拉斯变换的收敛域

重新分析例2.2.1， 。在求它的拉普拉斯变换时，需要假设这个积分是收敛的。

可以举一个反例，例如，选取 s =-2 a ，且 a >0，这时积分可写成

当 a >0时，e ^at 随着时间的增加会趋于无穷。显然，式（2.2.13）的积分不存在（无穷大）。所以求它的拉普拉斯变换，就需要对变量 s 加一个限制条件。而这个限制条件称为拉普拉斯变换的 收敛域 （Region Of Convergence，ROC）。

将 s = σ +j ω 代入式（2.2.13），得到

式（2.2.14）中的积分由两部分相乘而得，首先看e ^{-j ω t} 这一项，它是一个复数。根据欧拉公式，e ^{-j ω t} =cos（ ωt ）-jsin（ ωt ）。e ^{-j ω t} 在复平面中的表达如图2.2.2所示，随着 t 的增加，它在复平面上会沿着一个圆做顺时针运动，而它的幅值|e ^{-j ω t} |是恒定不变的：|e ^{-j ω t} |=cos ² （ ωt ）+sin ² （ ωt ）=1。所以，用它乘以e ^{-（ a + σ ） t} 这一项并不会对积分的收敛产生影响。这也很好理解，根据欧拉公式，e ^{-j ω t} 仅仅引入了正弦和余弦函数（引入了振动），而振动会有正有负，不会在单一的方向增加或者减少。因此，分析积分是否收敛需要看式（2.2.14）积分中前面的一项，即e ^{-（ a + σ ） t} 。若要求这部分收敛，显而易见，e的指数部分要小于0，即

所以， σ >- a 是 的收敛域。其他常见拉普拉斯变换的收敛域请参考表2.2.1。