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以图2.2.1（a）所示的电路系统为例，电流的动态微分方程为
其中， e （ t ） 表示电压， i （ t ） 表示电流， L 表示电感， R 表示电阻。
图2.2.1 电感电阻系统
定义此动态系统的输入为电压 u （ t ） = e （ t ） ，输出为电流 x （ t ） = i （ t ） ，则式（2.2.1）可以写成
式（2.2.2）可以用图2.2.1（b）所示的框图描述。其中，在系统的输入与输出中间有一个转化过程，设为 g （ t ） 。 g （ t ） 就是系统的单位冲激响应 h （ t ） （ g （ t ） = h （ t ） ）。系统的输入 u （ t ） 、输出 x （ t ） 与 g （ t ） 之间是卷积运算的关系，即
若要分析系统的输出 x （ t ） ，就需要分析卷积 u （ t ） * g （ t ） ，或者求解微分方程。观察式（2.2.2）和式（2.2.3），直接求解它们的过程会非常复杂，尤其是处理复杂系统的时候。正是因为如此，在经典控制理论当中，一个强大的数学工具被引入进行辅助分析，这个数学工具就是 拉普拉斯变换 。通过拉普拉斯变换，系统的微分方程将转化为代数方程，卷积运算则会变为乘法运算。现在，让我们暂时抛开上面的例子，先来讨论拉普拉斯变换的定义，等到2.3节再重新分析此例。
对一个函数 f （ t ） 做拉普拉斯变换，可以将其从时域（ t ）转换到复数域（ s ），它的定义为
其中， s = σ +j ω ，是一个复数。
式（2.2.4）中积分下限从0开始。从控制工程的角度来讲，不需要去研究时间0点以前的事情，而是把这部分留给哲学家。考虑一个特例，当
σ
=0的时候，拉普拉斯变换变成了
。这是函数
f
（
t
）
的傅里叶变换。因此，傅里叶变换是拉普拉斯变换的一种特殊情况。关于傅里叶级数和傅里叶变换的推导，读者可以参考
附录B
。
下面请看几个拉普拉斯变换的例子。
例2.2.1
。
证：
例2.2.2
，其中，
a
、
b
为常数。
证： 略，可用积分基本规则证明。这是拉普拉斯变换的 线性叠加性质 ，说明拉普拉斯变换是线性变换。
例2.2.3
。
证： 根据欧拉公式
式（2.2.6a）减式（2.2.6b），得到
根据例2.2.2的线性叠加性质，与例2.2.1所求指数函数的拉普拉斯变换，可得
例2.2.4
。
证：
其中， f （0） 是函数的 初始条件 （Initial Condition）。
例2.2.5
。
证：
这是一个二重积分，可以通过交换积分顺序与上下限的方式来进行化简。交换之后，式（2.2.10a）可以写成
对式（2.2.10b）里面的积分
项使用换元法，令
t
-
τ
=
u
，可得
将式（2.2.11）代入式（2.2.10b），得到
式（2.2.12）说明通过拉普拉斯变换后，复杂的卷积运算变成了简单的乘法运算。
表2.2.1列出了常见的拉普拉斯变换公式。
表2.2.1 常见的拉普拉斯变换公式
