2.1.2 常见动态系统微分方程举例

使用微分方程可以直接描述动态系统输入与输出之间的卷积关系。建立系统的微分方程，首先要分析系统的物理特性并列出方程组，之后消去中间的变量并将其写成标准形式。本节将讨论几个常见的动态系统并建立其微分方程。

例2.1.1 体重变化。

先来看一个很多人感兴趣的例子——体重控制。人类体重的变化与热量吸收及消耗相关。每日的饮食会带来热量摄入；同时，每天的呼吸、日常工作或者运动则会消耗热量。根据热量的摄入与消耗，一个人体重变化的微分方程可以粗略表达为

其中， m 表示体重； E _i 表示热量摄入，国际单位是kJ。而一般情况下，与饮食、运动相关的热量常用单位是kCal，即一千卡路里。热量的消耗用 E _e 来表示。因此，每日的净热量摄入等于 E _i - E _e ，如图2.1.7所示。而净热量和体重的关系大概是7000kCal≈1kg脂肪。可以认为，身体燃烧掉7000kCal可以消耗1kg脂肪。同理，摄入7000kCal则会增加1kg脂肪。

在式（2.1.11）中，热量摄入 E _i 来自饮食，属于相对独立的一个变量。而消耗 E _e 可以分为两部分，即

其中， E _a 是每日额外的运动消耗，如健身消耗；而 α P 表示日常消耗， α 是一个对应于不同劳动强度的系数，例如轻体力劳动者的 α =1.3，中体力劳动者的 α =1.5，重体力劳动者大概的 α =1.9。 P 是 基础代谢率 （Basal Metabolic Rate，BMR），有过健身经验的读者对这个名词应该不陌生。它的计算很复杂且因人而异。为简化运算，可以选用Mifflin-St Jeor公式来估算它，误差在5%左右，其表达式为

其中， h 表示身高，单位是cm； a 表示年龄； S 是一个调整系数，它和性别相关（其中，男性： S =5；女性： S =-161）。

通过式（2.1.13）可以得出，一个人的体重（ m ）越大，身高（ h ）越高，基础代谢率就会越高，因为大块头需要更多的能量来维持身体运行。而随着年龄（ a ）的增长，基础代谢率会逐渐下降，这也是人在年龄大了之后会更加不容易管控身材和体重的原因。另外，在同样的身高体重状态下，男性的基础代谢率大约要比女性高166kCal，所以女性想要保持体型会比男性更加困难。

将式（2.1.12）和式（2.1.13）代入式（2.1.11）中并调整，可得

这是关于体重的一阶微分方程。式（2.1.14）表明身材管理也可以通过数学公式来分析。本书会在 第7章 中继续分析这个模型，并揭秘科学控制体重的方法。

例2.1.2 电路系统。

图2.1.8所示为典型的电路网络系统，包含了电源 e _{（ t ）} 、电感 L 、电容 C 和电阻 R 。对于电路系统的数学建模，可以使用 基尔霍夫电压定律 （Kirchhoff’s Voltage Law）：沿着闭合回路的所有电动势的代数和等于所有电压降的代数和。

具体步骤为沿着电流的参考方向（方向可以任意选定，此例中选择顺时针方向），给每一个元器件上的电压标明正负号，在元器件内，电流从正极向负极流动，如图2.1.8所示。根据各个元器件特性，它们的电压分别为

以上三项电压与参考电流的方向一致，所以取正号。而电源电压 e _{（ t ）} 与参考电流方向相反，所以取负号。根据基尔霍夫电压定律，可得

将式（2.1.15）代入式（2.1.16），可得

等式两边同时对时间 t 求导，可以消除积分项 ，调整 e _{（ t ）} 的位置，可得

式（2.1.18）描述了电流 i _{（ t ）} 与电压 e _{（ t ）} 之间的关系，它是一个关于电流的二阶微分方程。

例2.1.3 弹簧质量阻尼系统。

弹簧质量阻尼系统在工程中有很广泛的应用，绝大部分与振动相关的系统都可以简化成图2.1.9（a）的模式，如果把它竖起来就是四分之一个汽车悬挂系统。

对这一系统进行数学建模，首先要对质量块进行受力分析，如图2.1.9（b）所示，令 x _{（ t ）} 表示质量块的位移并设向右为正方向， x _{（ t ）} =0时代表了弹簧的自由状态，不压缩也不拉伸。它受到外力 f _{（ t ）} 、弹簧力 以及阻尼力 的共同作用。根据胡克定律，弹簧力为

其中， k 表示弹簧的弹性系数。弹簧力和位移成正比，因为其方向与位移 x _{（ t ）} 相反，所以取负号。

阻尼力为

其中， b 表示阻尼系数。式（2.1.20）说明阻尼力与物体的移动速度（位移对时间的一次导数）成正比且方向与移动方向相反。

根据牛顿第二定律 ，将式（2.1.19）和式（2.1.20）代入并整理即可得到位移的二阶微分方程，即

式（2.1.21）是振动系统的基本形式。这个例子会多次出现在本书后面章节的分析当中。

例2.1.4 流体系统。

如图2.1.10所示流体系统，容器底面积为 A ，大气压强为 P _a ，容器进口处的流量为 ，出口位于容器底部，出口流阻为 R ，出口流量为 ，试建立容器内液面高度 h _{（ t ）} 与流量 的动态微分方程。

首先分析出口处的动态过程。流体在流动的过程中，管道、阀门、链接等都会阻碍流体的流动，进而产生压强差，压强差与流阻和流量成正比。这与电路系统的电阻功能非常相似。在流阻 R 两端：

其中， ρ 为流体密度。根据质量守恒定律：

其中 代表流体高度随时间的变化，将其乘以底面积 A 可以得到容器内流体体积对时间的导数（随时间的变化），这一变化即流入容器流量与流出容器流量之差。同时，容器出口处的压强 P _{（ t ）} 与液面高度相关，为

将式（2.1.24）代入式（2.1.22），可得

将式（2.1.25）代入式（2.1.23），可得

整理后可得液面高度的动态方程为

这是关于高度的一阶微分方程，体现了液面高度变化与入口流量变化的关系。 23O/iLTXiiDcJChX4Au2utaxOm0L5ib8KnnCrxDBwsiWJ6fnJ1OchSiLPpaLydny