6.“芝麻，芝麻，开门吧！”
——从“堆砌”记数到位值记数

不知从何时起，生活在西亚大沙漠的阿拉伯人之间，流传起一个令人神往的神话：阿里巴巴得到了一个密语，当他向着大山说声“芝麻，芝麻，开门吧”时，沉重的石门就自动打开，各种灿烂夺目的珍宝便呈现在眼前。

数学家也在寻找开启宝库的密语。在公元6世纪之前，古希腊人在几何方面已有很高的造诣，但总的来说人类在算术和代数方面的知识还极其贫乏。问题的症结在于记数的方法不合理，从而严重阻碍着计算技术的提高。

让我们看一看当时的几种记数方法吧。

前面已经说过，古埃及人用象形文字记数，表示一个具体数字时，就把这些符号堆砌起来，例如122表示成

即一个100，两个10，两个1，堆在一起。

古希腊人借用希腊字母表的字母和增添的几个符号表示数，为了把数和字母区别开，在数的上面画一条横线。字母表中的前9个字母是第一级，分别表示1，2，…，9；第二级，分别表示10，20，30，…，90；然后是第三级，第19个字母表示100，第20个字母表示200，……。

同埃及人一样，在表示具体数字时，也用这些符号堆砌起来。但因为数的符号很多，所以避免了同一符号的重复堆砌，例如122可表示为：

这种记数方法还影响了古代俄罗斯人。

罗马人创造的数字现在还能在一些钟表的表盘上看到。他们是这样记数的：

数字203他们表示成

CCⅢ

即两个100，三个1组合起来。

数字68则表示成

LXⅧ

即一个50，一个10（合起来60），一个5，三个1（合起来是8）组合起来。

可以看出，他们基本上也用堆砌的方法记数，但是他们又有独到之处，有时他们也用“减法法则”，例如把“1”放在“5”的右面表示“5+1”，即6；把“1”放在“5”的左面时，则表示“5-1”，即4。同样，把“1”放在“10”的左边，表示“10-1”，即9。

纵观这些记数方法，尽管进制不一定相同，但都有一个共同的特征，就是用几个基本符号作为数码，在表示一个较复杂的数的时候就重复使用这些符号，也就是将它们“堆砌”起来，结果是越来越复杂。

不堆砌能不能记数呢？我们中华民族走的就是另一条道路。据甲骨文和钟鼎文记载，在殷商时期就比较系统地采用一种竹棍（算筹）记数的方法，这种方法对从1到9的每个数都规定了纵、横两种格式，0用空格表示：

例如6451表示成

可以看出个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，……如此交错使用。与埃及人不同，不给10，100等规定新符号，更不给20，30等规定新符号。那怎么表示10，100呢？原来我国的记数方法用的是“位值制”，即同样一个数码“1”，放在不同的位置上可以分别表示1，10，100，1000，等等。这样，仅仅9个数码再加上一个空格就能表示任意的数，并且能直接对它们进行运算，大大减轻了人脑的负担。

位值制比起堆砌制来说，优越性是十分明显的，可以毫不夸张地说，这好像是打开数学宝库的一套密语。从此，人类走进了装满奇珍异宝的数学宝库。 H06IZ7kQq02O8R2ZKXuWXc1mbFRLgcqm5KyGlZJEQz0Edc2d4aRIC/2Ub7e8U1ba