10.从飞行员提出的问题谈起
——进制种种

20世纪50年代初，一位苏联飞行员应邀出席少先队联欢会。会上，他出了一道题目：一架飞机整整用了1小时20分钟才从甲地飞到乙地，可是返航时只用了80分钟就到了，请解释其中的原因。

少先队员们七嘴八舌地议论开了，有的说来回航线不一样；有的说去时逆风回来时顺风……众说纷纭。然而，飞行员叔叔却哈哈大笑，把大家的回答全部否定了。他说：“你们都没有想到，1小时20分钟就是80分钟，这里时间是六十进制的！”

这下，小朋友们恍然大悟。

苏联数学家别莱利曼认为这是一个提醒人们注意进位制的生动例子。他把它收录在自己的著作《活的数学》之中。

别莱利曼认为，考察一种记数方法得看三个方面：

第一，采用什么符号，现在基本上都采用阿拉伯数字。

第二，是不是用位值制，也就是一个符号表示多少，不仅仅取决于符号本身，还同时取决于它在记数符号中的位置。比如，符号1写在个位上表示1，写在百位上却表示100。采用位值制能用很少的几个符号表示任何数，是数学史上的一项重大成就。现在世界上基本都采用位值制。

第三，用什么数作为基数，也就是“逢几进一”，现在世界上主流是采用十进制。但是在历史上，经过了很长的时期，才基本实现统一。

最常用的基数是10。据美国数学家易勒斯调查，在307种原始民族记数方法中，有140种是十进制的。古时候的人数东西时，总是一边用嘴念一、二、三……一边扳手指。当十个手指都扳到了，就在地上放一块小石头或其他什么东西来代表“十”，再一、二、三……地数；数满了，再放一块小石头……当积满十块小石头时，再换成一个别的什么东西代表一百。这就是“逢十进一”的来源。

另外有些人爱用一只手的五个指头来数数，就只能“逢五进一”了。“逢五进一”比“逢十进一”出现得更早，许多民族的记数方法中都留下了它的痕迹。比如我国的算盘，下档一颗珠代表1，上档一颗珠代表5，就是如此。

有些民族不但用两只手数，而且双脚的十趾也一起帮忙，于是他们就用“逢二十进一”了。在法国至今仍有采用二十进制的场合，他们称220人一队的宪兵是“11个20”，巴黎有个建于700年前的盲人医院，可容纳300个病人，这个医院叫“15·20医院”。

2023年6月的《环球科学》杂志发表了一篇文章，是关于北极的因纽特人的数字系统——卡克托维克数字。这套记数系统混合使用了五进制、十进制、十五进制、二十进制。原先他们没有“0”，直到现代，当一个女孩描述0这个符号时，会把双臂在头顶上交叉，像在表示什么都没有一样，于是设计了一个“0”的符号。

他们的数字都是用斜杠表示，“1，2，3，4”比较陡，“5”是比较平坦的，“6”到“9”是在“5”的基础上叠合上陡的若干条斜杠。同样的，“10”是两条平坦的斜杠，“11”到“14”则是在10的基础上叠合若干条陡的斜杠。

英国历代使用十二进制，1英尺等于12英寸，1打等于12只，12打为1罗，等等。许多人认为十二进制比十进制优越，因为它能被2，3，4，6四个数整除，不像10只有2，5两个约数。瑞典国王查理十二世临终前还念念不忘在他统辖的地区，把十进制改为十二进制，然而他未能如愿以偿。

其实英国的进制是很混乱的。如1英尺（foot）=12英寸，1码（yard）=3英尺，1英里（mile）=1760码；1磅（pound）=16盎司，1盎司（ounce）=16打兰；1英镑等于20先令，1先令=12便士，……

十二进制虽然有它的优点，但是古代民族未必会认识到这一点，那它的起源是怎样的呢？有人认为某些古代民族计数时不是以手指为单位，而是以手指关节为单位。一只手除大拇指外，有4个手指，各有3个关节，合计12个关节。利用这些关节数物品，当数满12时，就进到高一位的计数单位——大拇指。

在我国，曾经使用过十六进制，有句成语“半斤八两”，意思就是两者（半斤和八两）是一回事。它的好处是，可以减半（得8），减半再减半（得4），甚至减半减半再减半（得2），减半减半减半再减半（得1），也就是说，进行减半运算比较方便。为了统一，现在即使是中药铺也不再使用十六进制了。

但是事物发展有时很奇怪，君不见，早已淘汰的旗袍，现在又翻出来变成时尚。近年来随着计算机的飞速发展，科学家认为十六进制和类似的八进制，才是人类与机器最理想的“共同语言”。这一点早已经出现在大学的计算机教科书上了。

度量时间和角度的单位，采用六十进制，是古代巴比伦人留给我们的遗产，至少已有4000年历史了。六十进制有自己的优点，就是等分的时候比较方便，这是因为60有2，3，4，5，6，10，12等多个约数的缘故。

原始文化中也有过二进制，大洋洲的托雷斯峡群岛的部落里就只有两个数码。 DDrVQtEHuAC3SjhzQzJDDcfbYZwq1VtvziZ/4l94bReBlpeDLmtfC9dsOpd8JTnS