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现在的教材已经不讲几何公理体系了，虽然这样的设计学生容易学了，但其实是非常可惜的，公理化思想——数学的精髓之一——在学生头脑里完全找不到影子了。
欧几里得创立的几何的起点是几条公设，其中第5公设的等价命题，即“过平面上直线外一点，只能引一条直线与已知直线平行”，数学家们都觉得这不像公理，应该是定理，应该可以证明的。于是不少数学家都想证明它。但是一一宣告失败，有些还为之付出了毕生心血！
俄国数学家罗巴切夫斯基开始也想证明第5公设，也没有摆脱失败的命运。被逼进绝境之后，他想：会不会一开始我的思路就错了，第5公设根本不能证明？于是反其道而行之，假设“过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交”，并用它展开逻辑推演。他得到一连串古怪的命题，如三角形的内角和小于180°等。但是，经过仔细审查，却没有发现它们之间有任何逻辑矛盾。
1826年，罗巴切夫斯基在一次演讲中宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文。这篇首创性论文的问世，标志着非欧几何的诞生。但其遭到权威的抵制，最后连文稿也给弄丢了。
但他并没有因此灰心丧气，1829年，他又撰写出一篇题为《几何学原理》的论文。此时，罗巴切夫斯基已是喀山大学校长，可能出自对校长的“尊敬”，《喀山大学学报》全文发表了这篇论文。
1832年，罗巴切夫斯基的这篇论文被呈送至彼得堡科学院评审。可惜的是，科学院里的权威们和其他的数学家也没能理解。他们对罗巴切夫斯基进行公开的指责和攻击，嘲讽他道：
“为什么不能把黑的想象成白的，把圆的想象成方的……”
对此，罗巴切夫斯基极为气愤。可气愤又有什么用？在创立和发展非欧几何的艰难历程上，始终没能遇到公开支持者，他很孤独！就连数学权威高斯也不肯公开支持他的工作。其实高斯内心是认可他的工作的，只是选择了明哲保身。
晚年的罗巴切夫斯基心情更加沉重，辞去教授职务。而此时家庭的不幸又降临，他最喜欢的、很有才华的大儿子因肺结核医治无效死去，这使他悲痛万分，他的身体也随之垮掉了，逐渐丧失视力，最后什么也看不见了。
1856年2月24日，伟大的学者罗巴切夫斯基在苦闷和抑郁中与世长辞。
十几年之后，非欧几何开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的研究得到学术界的高度评价，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。
罗巴切夫斯基的故事教训是深刻的。希望人们对那些尚未成熟的科学成果给予善意和宽容。