14.直觉也会带来麻烦

这是一个几何入门阶段出现的例子。

例1 点 O 是直线 AB 上的一点， OC 、 OD 是直线 AB 两旁的两条射线，且∠ AOC =∠ BOD ，如果∠ AOC =50°，求∠ COB +∠ BOD 的大小（图14-1）。

小刚说：“这还不简单。因为∠ AOC =50°，所以∠ BOD =50°，二者是对顶角……”

老师说：“错！”

小刚不服：“错在哪里？”

头脑清晰的小明看出来了：“噢，毛病在这里。”

“我们现在还不知道点 C 、 O 、 D 在不在一条直线上，因此不能说∠ AOC 和∠ BOD 是对顶角。”

小刚：“你看看，点 C 、 O 、 D 明明在一条直线上，怎么说它们不在呢？”

小明：“我是说 现在还不知道 。”

老师满意地笑了。

原来，图中的两条射线 OC 和 OD 组成一条直线（事实上确实是正确的，这不但能观察到，而且即使去测一下也是正确的），但这不是已知的，所以证明时不可以引用。

这就是直觉带来的麻烦，滥用了图形信息造成了错误。

我们的几何体系是从给出的已知条件出发，根据某些公理、定理，推导到结论的，依据只有两个：已知条件，已经学过的公理、定理。从图上看着正确的，而且有的后来确实可以证明它为正确的东西（我们姑且把它称为“图形信息”）是不能作为推理的依据的。

生活中有句成语叫“眼见为实”，但是在几何里，眼见的未必可以确定是真实的。学几何，就是不能相信自己的眼睛，不能利用图形信息作为推理的依据。

滥用图形信息是因为在初学几何时，人们还处在形象思维阶段，对逻辑思维不适应。我们前文讲了观察的作用、重要性，这是一种直觉的能力。但是我们不能停留在观察的层面，观察之后，必须升华到理论，还要试着讲讲道理。这样可以逐步从形象思维阶段过渡到几何论证的逻辑思维阶段。

观察是重要的，但是观察、直觉也常常给我们带来麻烦。

不但在几何入门阶段，在后面的阶段也会出现类似的情形。

例2 （平行四边形的判定定理）已知四边形 ABCD ，∠ A =∠ C ，∠ B =∠ D ，则 ABCD 是平行四边形（图14-2）。

有学生做了如下的证明：

因为 BD = BD ， AD = BC ， AB = CD ，

所以△ ABD 和△ BCD 全等，所谓全等就是可以重合起来的。

既然两个三角形全等，且可以重合起来，那么对应的角（边）应该相等。

所以∠1=∠2，于是 AD // BC ，

同理， AB // CD ，

所以 ABCD 是平行四边形。

为什么 AD = BC ， AB = CD ？

那位学生振振有词地说：“ ABCD 是平行四边形！所以对边相等！”

我们的题目是要证明 ABCD 是平行四边形，怎么能说它已经是平行四边形了呢？

该“证明”之所以错，是无意之中默认了“ ABCD 是平行四边形”的缘故。

例3 在梯形 ABCD 中（图14-3）， AB =12， CD =8， E 和 F 分别是 BD 和 AC 的中点，求 EF 的长。

不少人是这么解的：延长 EF 、 FE ，与 BC 、 AD 分别交于 K 、 M ，因为 MK 是梯形 ABCD 的中位线，所以 。

我们不解下去了，到这里，已经出毛病了。

你怎么知道 K 、 M 分别是 AD 、 BC 的中点，看出来的或者是想象出来的？这是滥用了图形信息！

眼见并不一定为“真”的。“真”不“真”，必须经过逻辑检验，而不能靠“看出来”。

怎么克服这类错误？我教大家一个方法，就是利用“残缺图形”和“不正确图形”。人家都讲作图要正确，你怎么要弄个“残缺图形”和“不正确图形”？

为了让学生不受或少受直觉的干扰，可以把图14-1改画成图14-4（残缺图形）或图14-5（故意错位的图形）那样。图14-4里的残缺部分和图14-5里故意错位的线条，可以让学生警惕：目前还不知道 C 、 O 、 D 是不是在同一直线上。

对于例2，如果把图14-2故意画成如下的不正确的图14-6，直觉的干扰可能会少些。当然也可以画残缺图形。

残缺图形、不正确图形，有它特殊的作用！ z7h6jrRdbq2HBfGBzRbxYNEOahGb/CjgG8nRQEBp5Dyac1td52Vc0Hxq4AMJ4x8k