机器视觉理论与实践最新章节_张德好著

2.1 矩阵的两个功能

在机器视觉中，需要重点把握矩阵的两个功能，即基变换和线性映射。

（1）基变换就是从不同坐标系变换视角观测同一个固定目标，描述位姿；

（2）线性映射则指目标从一个位姿变换到另一个位姿，描述了运动。

2.1.1 基变换

矩阵可以实现基的变换。

给定线性空间 R ⁿ 和一个基 α ₁ ， α ₂ ，…， α _n ，任意一个抽象向量 r 可以表示成基{ α _i }下的具体向量 x =（ x ₁ ， x ₂ ，…， x _n ） ^T ：

如果选定空间 R ⁿ 的另一个基 β ₁ ， β ₂ ，…， β _n ，同样地，该抽象向量 r 可以表示成基{ β _i }下的具体向量 y =（ y ₁ ， y ₂ ，…， y _n ） ^T ：

两个基{ α _i }和{ β _i }可以表示为

其中，矩阵 C 称为转移矩阵。

转移矩阵 C 的第 j 列 c _j =（ c ₁ _j ， c ₂ _j ，…， c _nj ） ^T 是旧基{ α _j }的第 j 个基向量 α _j 在新基{ β _i }下的坐标。

根据抽象向量的恒等性 r ≡ r ，有

根据{ β _i }作为基的线性无关性，有

可见，通过 α = βC 将新基转移回旧基的转移矩阵 C ，以 y = Cx 的形式将旧坐标 x 变换为新坐标 y 。

两个基{ α _i }和{ β _i }还可以这样表示：

其中，矩阵 D 称为过渡矩阵。

同样，根据抽象向量的恒等性 r ≡ r ，有

根据{ α _i }作为基的线性无关性，有

即

可见，通过 αD = β 将旧基过渡至新基的过渡矩阵 D ，以 x = Dy 的形式将新坐标 y 变换为旧坐标 x 。

在机器视觉中，多使用转移矩阵的形式。

2.1.2 线性映射

矩阵的另一个作用是实现线性映射。

对于某个线性映射：

给定输入空间的原像 u ∈ U ，可以得到输出空间的像，该映射A： R ⁿ → R ^m 同构于一个矩阵 A ∈ R ^m ^× ⁿ ；矩阵 A 中的元素，取决于基的选择。

选定输入空间 U 的一个基 α ₁ ， α ₂ ，…， α _n 和输出空间 V 的一个基 β ₁ ， β ₂ ，…， β _m ，将映射作用于输入基{ α _i }的各个坐标轴，即可得到矩阵 A ：

矩阵 A 称为线性映射在入口基{ α _i }和出口基{ β _i }下的表示矩阵。

表示矩阵 A 的第 j 列，是输入空间的坐标轴 α _j 经过线性映射之后在输出空间的坐标系{ β _i }下的坐标。

这样，抽象的映射，经过选定基的坐标化，可以通过具体的矩阵 A ∈ R ^m ^× ⁿ 描述。

将算子从分块矩阵中提出，有

式中，左侧是抽象的线性映射，右侧是具体的矩阵 A 。

设输入空间 U 中的原像 u 在入口基{ α _i }下坐标化为具体向量 x =（ x ₁ ， x ₂ ，…， x _n ） ^T ：

输出空间 V 中的像 v 在出口基{ β _i }下坐标化为具体向量 y =（ y ₁ ， y ₂ ，…， y _m ） ^T ：

则根据抽象映射有

根据{ β _i }作为基的线性无关性，有

可见，具体的矩阵 A 实现了抽象的映射，将某个输入基{ α _i }下的坐标 x 映射为输出基{ β _i }下的坐标 y 。

2.1.3 矩阵等价与相似

观察前述线性映射矩阵表示

注意：左侧是十分抽象的线性映射，而右侧则是十分具体的矩阵乘法。

如果输入基{ α _i }和输出基{ β _i }没有经过良好设计，则映射A对应的表示矩阵 A 可能并不友好。对友好矩阵的追求是线性代数、矩阵分析和高等代数的核心目标之一。

所谓好的矩阵，是指其含有尽量多的零，例如对角矩阵、上三角矩阵或者分块对角矩阵等。因此，可以通过合理设计新的输入基和输出基，使表示矩阵 A 的形式简单，例如成为单位阵或者对角矩阵。

为此，在输入空间，选择某个过渡矩阵 P ，进行基变换，将旧的输入基{ α _i }过渡为新的输入基：

在输出空间，选择某个过渡矩阵 Q ，进行基变换，将旧的输出基{ β _i }过渡为新的输出基：

为了获得新输入基和新输出基下的新表示矩阵，将映射作用于新输入基的各个坐标轴：

即

记新输入基和新输出基下的新表示矩阵为 B ，即

则有

结合输出基的基变换：

（ β ' ₁ ， β ' ₂ ，…， β ' _m ）=（ β ₁ ， β ₂ ，…， β _m ） Q

则有

根据{ β _i }作为基的线性无关性，有

从而得到比较好的新表示矩阵 B ：

称矩阵 B 与矩阵 A 等价。

新输入基下坐标 x '经过映射A后，在新输出基的坐标 y '为

式 y '= Bx '= Q ^-1 APx '中三个矩阵： P 和 Q 矩阵的作用是完成坐标系的基变换，矩阵 A 完成线性映射。具体如下。

（1）过渡矩阵 P 是在输入空间进行基变换，将下新坐标 x '变回{ α _i }下旧坐标 x ：

（2）表示矩阵 A ，将输入空间的旧输入基下的向量 x 执行线性映射，得到输出空间的老输出基下的向量 y ：

（3）过渡矩阵 Q ^-1 是在输出空间进行基变换，将{ β _i }下旧坐标 y 变为下新坐标 y '：

可见，矩阵等价中的三个矩阵即三次变换。

存在一种特殊的情况，当线性映射退化为线性变换： R ⁿ ⊃ W → W ⊂ R ⁿ 时，等价关系 AP = QB 退化为

即

称矩阵 B 与矩阵 A 相似。

2.1.4 特征值分解与奇异值分解

根据矩阵相似的式子 A = PBP ^-1 ，对于线性变换，通过合理设计的基变换矩阵 P ，可以将表示矩阵 A 变为简单的矩阵 B 。

矩阵 B 的最简形式是对角阵，这可以通过特征值分解得到。

矩阵 A 与向量 v 相乘，就是对向量 v 进行线性变换（如旋转、伸缩、反射等），例如对称矩阵的乘法，就是对 x 轴和 y 轴进行（非均匀）伸缩。而非对称矩阵的乘法则既不是对 x 轴也不是对 y 轴进行伸缩，而是在特定方向上进行伸缩。具体是哪个方向，需要特征向量的概念。

对于方阵 A ∈ R ⁿ ^× ⁿ 和向量 v ∈ R ⁿ ，如果有 Av = λ v ，也就是矩阵对于向量只有伸缩作用，即span（ v ）构成一维不变子空间，则称 λ 为特征值， v 为对应特征值 λ 的特征向量。矩阵 A 与特征向量 v 相乘和数量 λ 与特征向量 v 相乘效果相同，说明特征向量 v 是一个主要伸缩方向。

记方阵 A 排序后的特征值为 λ ₁ ≥ λ ₂ ≥…≥ λ _n ，对应特征向量为 w ₁ ， w ₂ ，…， w _n ，则 A 可以表示为

式（2-16）称为方阵 A 的特征值分解（Eigen Value Decomposition，EVD），其中 Λ =diag（ λ ₁ ， λ ₂ ，…， λ _n ）为特征值构成的对角阵， W =（ w ₁ ， w ₂ ，…， w _n ）为相应特征向量拼成的方阵。

进一步地，把向量组{ w _i }正交化和单位化为，从而，则构成标准正交基矩阵（酉矩阵），满足即，因此

不过，能够进行特征值分解的矩阵必须是方阵，大部分工程问题遇到的矩阵并非方阵。

此时根据矩阵等价式 A = QBP ^-1 ，对于线性映射，通过合理设计输入基的过渡矩阵 V 和输出基的过渡矩阵 U ，表示矩阵 A 可以变为简单的 B 。矩阵 B 的最简单形式是分块对角阵，这可以通过奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）得到

式（2-18）称为矩阵 A 的奇异值分解，其中 A ∈ R ^m ^× ⁿ ， r =rank A 为 A 的秩； V ∈ R ⁿ ^× ⁿ 和 U ∈ R ^m ^× ^m 为正交矩阵， Σ ∈ R ^m ^× ⁿ 矩阵形式如下：

Σ 中的 Λ =diag（ σ ₁ ， σ ₂ ，…， σ _r ）是由从大到小排列的 r 个非零奇异值构成的对角方阵；而 σ ₁ ≥…≥ σ _r ≥ σ _r ₊₁ ≥…≥ σ _{min（

m

，

n

）} ≥0称为矩阵 A 的奇异值，同时也是方阵 A ^T A 或 AA ^T 的特征值的平方根。