2.5　标准合成的多目标测试问题

多目标测试问题主要用于对比不同优化算法的优化性能。当前研究中的标准合成多目标测试问题有多种，如DTLZ ^[159] 、WFG ^[36] 、ZDT ^[160] 、MOP ^[161-166] 、UF ^[167] 和mDTLZ ^[168] 问题等。

本书主要用到4个常用的多目标测试问题，即DTLZ（包括DTLZ1-7） ^[159] 、WFG（包括WFG1-7） ^[36] 、UF（包括UF1-7） ^[167] 和mDTLZ（mDTLZ1-mDTLZ4） ^[168] 。下面主要针对上述4个测试问题集进行详细介绍。这些问题的目标数和决策变量数都是可变的，而且帕累托前沿具有不同的性质，可以着重测试相关优化算法的某方面优化性能。帕累托前沿的具体性质包括：线性／凸／凹／不连接（Linear/Convex/Concave/Disconnected）、单模态／多模态（Uni-modal/Multi-modal）、退化的（Degenerate）、可分／不可分的（Separable/Non-separable）、有偏／无偏向（Bias/Non-bias）、一对一／多对一（One-to-one/Many-to-one）、平坦的（Flat）。其中单模态和多模态的帕累托前沿是指该前沿只包含一个最优解和多个局部最优解。退化的帕累托前沿是一种维度比它所嵌入的目标空间更低的前沿。可分性判定如定义1.6所示。有偏／无偏性是指搜索空间中均匀分布的参数向量是否映射到适应值空间中均匀分布的目标向量，例如三目标问题中的线段前沿（Line Segment Front）是退化的；相反，在一个具有三个目标的多目标问题中，二维前沿则是不退化的。一对一／多对一映射关系是指帕累托最优集与帕累托前沿的映射关系。平坦的帕累托前沿是指参数的微小扰动不会改变目标函数值 ^[36] 。本书用到的所有测试问题的帕累托前沿性质总结如表2.1所示。

表2.1　多目标测试问题（DTLZ、WFG、UF、mDTLZ）的帕累托前沿性质

^a 当目标个数大于3时，DTLZ5和DTLZ6的帕累托前沿不是退化的。

^b 当目标个数大于2时，WFG3的帕累托前沿不是退化的。

^c 原文未给出UF的帕累托前沿性质，此处根据原文给出的帕累托前沿观察而得。

^d 原文未给出mDTLZ的帕累托前沿性质，此处根据原文总结而得。 obKxoTbN9V5uM0/1rPuhyPJzT7F0FiMUY2MdCZhTPHxgUinRYr4fCTVxIYAVq7xD