4.1.1 数值平均数

数值平均数是根据总体各单位的变量值计算得到的平均值，主要用于对数值型数据的集中趋势度量，有算术平均数、调和平均数和几何平均数三种计算形式。

1.算术平均数

算术平均数就是总体中各变量值的总和除以变量值个数的商，是集中趋势测定中最重要的一种形式，它是所有平均数中应用最广泛的平均数。根据所掌握资料的分组情况不同，算术平均数可分为简单算术平均数和加权算术平均数。

（1）未分组资料。若总体资料未进行分组，则先计算各变量值的总和，再用总体单位数去除，这样计算的结果就是简单算术平均数。其计算公式为

式中， 表示算术平均数； x 表示各个变量值； n 表示总体单位数；∑表示总和。

例4-1 某品牌洗衣机90天的网上销售量如表4-1所示（已经按照销售量的大小排序），试计算该品牌洗衣机平均每天的网上销售量。

解： 容易计算90天的网上销售量总计为9 018台，则平均每天的网上销售量为

因此，该品牌洗衣机平均每天的网上销售量约为100台。

（2）单项分组资料。若总体资料已经分组，且每组只有一个变量值，此时的分组被称为单项分组。当分析的变量为离散变量且取值个数不多、变量值波动范围不大时，可对数据进行单项分组。这时，通常有多少个不同的变量值就分为多少个组。连续变量不能进行单项分组。

在单项分组资料中，将各组变量值乘以其出现的次数，然后加总求和，再除以总体单位数，所得结果为加权算术平均数。其计算公式为

式中， 表示算术平均数； x 表示各个变量值； f 表示各个变量值出现的次数（又称为权数）；∑ xf 表示各变量值的总和；∑ f 表示总体单位数。

（3）组距分组资料。若所获得的资料已经分组，而且以变量的一段变动区间为一组，此时的分组称为组距分组。每组的变量最大值称为上限，变量最小值称为下限，上限、下限统称为组限。组距分组适用于连续变量或离散变量且变量取值个数很多、变量波动范围很大的情况。

在组距分组资料中，加权算术平均数公式中每组的 x 可用各组的组中值代入。组中值的计算如下：

缺上限的组中值计算如下：

缺下限的组中值计算如下：

例如，某分析变量的组距分组为750以下、750～800、800以上，则第一组的组中值为725，第二组的组中值为775，第三组的组中值为825。这里，第一组和第三组分别为缺下限和缺上限的组，其邻组的组距都是50。

组距分组确定组限时应注意：最小组的下限应低于或等于最小变量值，而最大组的上限应高于或等于最大变量值。因为只有如此，才能把所有的变量值都包括在各组中，但组限和变量值的距离又不要差距过大，必要时，可采用开口组（缺上限或缺下限的组）。离散变量相邻组的组限可以重叠，也可以是顺序两个变量值，但是，连续变量相邻组的组限一定是重叠的。当组限重叠时，通常采用“上限不在内，下限在内”的原则，即分组计数时，上限不在本组，而在下限的这组内计数。例如，组距分组为750以下、750～800、800以上，则变量值750在第二组，800不在第二组，而在第三组。

例4-2 若对例4-1中的数据进行组距分组，如表4-2所示，试计算该品牌洗衣机平均每天的网上销售量。

解： 因为是组距分组，将组中值作为各组变量值的代表值代入加权算术平均数公式，则

用组中值计算的加权算术平均数是真正平均数的一个近似值。从表中可知，以组中值计算的90天的网上销售总量为9 040台，显然是一个近似值，因此，计算的90天内平均每天的网上销售量100.44台也是真实平均数100.20台的一个近似值。

2.调和平均数

调和平均数是总体各变量值倒数的算术平均数的倒数，也称倒数平均数。按其计算方法不同，调和平均数可分为简单调和平均数和加权调和平均数。

简单调和平均数是先计算各变量值倒数的简单算术平均数，然后求其倒数。其计算公式为

加权调和平均数是先计算总体各变量值倒数的加权算术平均数，然后求其倒数。其计算公式为

其中， m 表示调和平均数的权数。

在统计分析中，计算多个单位的平均利润率、平均计划完成程度等，需要用到调和平均数。加权调和平均数大多数情况下是作为加权算术平均数的一种变形来使用的。设总体各变量值为 x ，它由分子 m 与分母 f 相除得到，那么，如果知道该变量的分子资料，则用加权调和平均数公式计算该变量的平均数；如果知道该变量的分母资料，则用加权算术平均数公式计算该变量的平均数。计算公式为

例4-3 某公司有A、B、C三家子公司，已知各子公司的销售计划完成程度及实际销售情况如表4-3所示，试求这三家子公司的平均销售计划完成程度。

解： 由题意，已知的是实际销售，也就是质量指标的分子资料，因此计算平均销售计划完成程度，应采用加权调和平均法，即三家子公司的平均销售计划完成程度为

上述例题中，如果已知三家子公司的销售计划完成程度和计划销售情况，则不能调和平均数计算三家子公司的平均销售计划完成程度，而应该用加权算术平均数形式来计算。

例4-4 某公司有A、B、C三家子公司，已知各子公司的销售计划完成程度及计划销售情况如表4-4所示，试求这三家子公司的平均销售计划完成程度。

解： 由题意，已知的是计划销售情况，也就是质量指标的分母资料，因此计算平均销售计划完成程度，应采用加权算术平均法，即三家子公司的平均销售计划完成程度为

调和平均数也容易受极端数值的影响，而且受极小值的影响大于受极大值的影响。调和平均数的应用范围较小，当变量值中有一项为0时，无法计算调和平均数。

3.几何平均数

几何平均数是 n 个比率乘积的 n 次方根，即把若干个变量连乘，得其乘积再开 n 次方根。社会经济统计中，几何平均数适用于计算平均比率和平均速度。

几何平均数按计算方法不同分为简单几何平均数和加权几何平均数。

简单几何平均数的计算公式为

式中， 表示几何平均数； x 表示变量值； n 表示变量值个数；Π为连乘符号。

加权几何平均数的计算公式为 2eQmombTIDg3mXY2IUDQ9oRLAmvt4zfN2wMrAmsnaRqssNyVmYB3GwyFxGBbJpbX