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大部分财务管理活动的影响不是立即出现的，而是要在未来一段时期后出现，因此，作为财务管理者，需要考虑现在某一决策（活动）对将来企业价值的影响，即要考虑时间因素。因此，首先要分析货币本身在一段时间后可能发生的价值变动。货币时间价值是每项财务决策都需要考虑的重要因素。
常言道“一寸光阴一寸金”，这说明时间对每个人都十分宝贵。然而货币具有时间价值吗？如果有时间价值，那货币的时间价值又到底是什么呢？
在具体讨论货币时间价值这一概念以前，我们先看一个简单的小例子。小张是木工能手，许多建筑公司都希望聘用他。2022年1月，有两家公司对小张提出聘用邀请，A公司提出的条件是每月工资6000元，月初支付工资，B公司提出的条件也是每月工资6000元，但在月末支付工资。如果这两家公司其他条件完全相同，则小张应选择哪个公司呢？
在实际工作中这个问题很好判断，小张应选择A公司，因为A公司支付工资更早。但如果我们把这个现象上升到理论高度，就会提出这样的问题：早得到的货币比晚得到的货币更有价值吗？或者说，货币经过一段时间后，其价值会增值吗？这个问题就是货币时间价值问题。在经济学理论中，我们常常把货币时间价值定义为货币经过一段时间后所发生的价值增值。
那么，货币在经过一段时间后为什么会增值呢？西方经济学家对此有多种解释。一种观点认为，货币持有者不把货币消费掉，而是储存起来，是一种美德，货币价值的增值是对美德的回报。上述观点也是对货币时间价值最原始的解释。现代西方经济学的基本观点认为，货币是市场经济中最重要的资本，是企业投资的必要资源。企业为了获得这一资源，必须要向货币持有者支付一定的报酬，才能获得货币暂时的使用权，而货币持有者只有在得到增值的条件下，才可能将货币使用权转让给他人。
马克思主义经济学认为，货币产生时间价值的原因是货币本身是一种资本形式，当它参与社会资本运转时，就会发生增值。因此货币时间价值是社会资本利得的表现形式之一，其前提是货币必须转化为资本，参与生产经营。如果一个人把他的货币藏在山洞里，就不可能获得时间价值。而当一个人将货币储蓄在银行里的时候，即使这个人没有参与任何生产经营活动，他的货币也能增值，原因是银行代替他将他的货币投入了社会资本运营（贷款给企业或购买企业证券）中。
货币时间价值的计量有绝对数和相对数两种形式。由于绝对数的计算结果在不同货币规模下不可比，因此在衡量货币时间价值时大多采用相对数形式。这里所说的相对数即货币增长幅度，在现实生活中大多数时候以利率或投资报酬率来表示。货币在经过一段时间（比如1年）的运营后增长幅度究竟有多大？根据马克思主义经济学的观点，货币时间价值是在没有风险和通货膨胀状态下的社会平均投资报酬率。这是因为，在完全竞争的市场经济条件下，资本是完全流动的，这使得各类资本家的投资报酬率达到完全相同，银行资本家也得到与产业资本家一样的报酬（不考虑风险和通货膨胀）。在现实生活中，由于风险和通货膨胀不可能完全不存在，因此货币时间价值近似地等于短期国库券的利率。
货币时间价值对财务管理有决定性影响，它使得人们在进行投资和筹资等各种决策时，充分考虑货币时间价值因素，将各个不同时段的现金流量进行对比，识别各种财务活动对企业价值的影响，从而寻求最优决策。对此，我们将在以后的章节中进行具体讨论。
考虑到货币有时间价值，因此我们在讨论货币的价值量时，要充分考虑其持有的具体时点。在财务管理中，我们将一笔货币资产现时的价值称为现值，而将一笔货币资产在经过一段时间后未来的价值量称为终值。例如，2023年一年期定期存款的利率为1.5%（以基准利率为例）。小王2023年1月1日存入定期一年存款10000元，则这一笔存款的现值为10000元，一年后，本金仍为10000元，利息为150元，本利和为10150元，因此其终值为10150元。
终值和现值的计算受利息计算方式的影响，包括单利和复利两种方式。
所谓单利，是指在货币时间价值计算期内，本金保持不变，利息不转入本金。比如年初存入一笔资金，金额为100元，期限为5年，利率为5%，则第1年到第5年的本金都是100元，利息都是100×5%=5元，该笔资金的终值为100+5×5=125元。
一般来说，在单利条件下，如果一笔资金的现值为 P ，年利率为 i ，则 n 年后终值 F 为
F = P ·（1+ i · n ）
同理可知，如果一笔资金的终值为 F ，年利率为 i ，则 n 年前其现值 P 为
P = F /（1+ i · n ）
单利的计算假设条件是：货币持有人每次得到利息都不以这部分利息进行投资，因而利息不能转为本金。但在现实生活中，这一假设条件并不一定能成立，多数情况下，到期的利息收入都被货币持有人投入到下一期资本中，因此在利息的计算中要考虑到上一期收回的利息转为本金的情况。所谓复利，是指在每次利息计算时，都将上一次收到的利息转为本金，并在此基础上计算利息。虽然我国目前银行系统公布的利率大部分是单利计算方式，但由于大部分银行在设计存款方式时都有自动转存功能，因此实际在选择自动转存方式存款时，利息计算实际上采用的是复利方式。
（1）复利终值。在复利方式下，如果一笔资金现值为 P ，年利率为 i ，则
第1年年末的本利和为 P （1+ i ）
第2年年末的本利和为 P （1+ i ）+ P （1+ i ） i = P （1+ i ） 2
第3年年末的本利和为 P （1+ i ） 2 + P （1+ i ） 2 i = P （1+ i ） 3
……
第 n 年年末的本利和为 P （1+ i ） n
n 年后终值 F 为 P （1+ i ） n
由于（1+ i ） n 大于（1+i· n ），因此可看出，在其他条件相同的情况下，同一笔资金的复利计算终值大于单利计算终值。
在财务管理中，我们将（1+ i ） n 称作利率为 i ，期限为 n 的复利终值系数，记作FVIF（ i ， n ）。因此FVIF（5%，4）=（1+5%） 4 ，FVIF（10%，8）=（1+10%） 8 。为了便于计算，本书列举了根据不同的利率和复利计算次数，计算出的各种情况下对应的复利终值系数，见附录复利终值系数表。
例3-1 李先生今年50岁，经过多年积蓄，到2022年12月31日他的活期存款余额为200000元。由于银行存款利率下调到1年期为1.5%，因此李先生不再愿意通过定期存款理财。李先生所在的企业最近在进行职工集资，集资期为4年，年利率为5%，采用单利计算方式，到期一次还本付息。那么，李先生到底应该将他的资金存为定期存款还是进行集资呢？
如果存定期存款，自动转存，则该笔资金4年后的终值为
200000×FVIF（1.5%，4）=200000×（1+1.5%） 4 =200000×1.0613=212260（元）
如果参与集资，则该笔资金4年后的终值为
200000×（1+5%×4）=240000（元）
虽然集资按单利计算，但由于其利率远大于银行1年期存款利率，因此如不考虑集资风险，李先生应选择参与单位集资。
（2）复利现值。复利现值实际上是寻求未来某一时点货币资金在现在时点价值的问题。在复利条件下，一笔现在的存款 P ，在存期为 n ，年利率为 i 的情况下，即 n 年后这笔存款的终值 F = P ·（ 1 + i ） n 相当于现值 P 应为 F /（1+ i ） n 。因此，在复利的计算方式下， n 年后的一笔款项，在利率为 i 的条件下，其现值 P 的计算公式如下：
P = F ·[1/（1+ i ） n ]
在财务管理中，我们将1/（1+ i ） n 称为利率为 i ，期限为 n 的复利现值系数，记作PVIF（ i ， n ）。因此PVIF（5%，4）=1/（1+5%） 4 ，PVIF（10%，8）=1/（1+10%） 8 。为了方便计算，本书列举了根据不同的利率和复利计算次数，计算出的各种情况下对应的复利现值系数，见附录复利现值系数表。
例3-2 民营企业家周先生有闲置资金2000万元，准备用来做风险投资。最近通过各地洽谈，有两个投资计划引起了他的注意。A计划要求初始投资2000万元，10年后收回投资，并在第3年、第6年、第9年年末分别收到投资利润500万元。B计划也要求初始投资2000万元，10年后一次性收回投资，并收到投资利润1950万元。在不考虑投资风险的情况下分析以下问题。
（1）假设周先生在自身企业投资报酬率为每年6%，周先生应投资哪个项目？
（2）假设周先生在自身企业投资报酬率为每年7%，周先生应投资哪个项目？
要回答这两个问题，关键是要看A计划和B计划投资收回资金的价值大小。由于两个计划资金收回的时间不同，不能直接比较，因此我们可以考虑先将两个计划收回的投资分别折算为现值，再进行比较。
A计划和B计划收取投资回报的时间和数额如图3-1、图3-2所示。
图3-1 A计划收取投资回报的时间和数额
图3-2 B计划收取投资回报的时间和数额
投资收回资金现值计算见表3-1。
表3-1 投资收回资金现值计算
从上述计算中我们可看出，当投资报酬率为6%时，B计划得到回报更多，而若投资报酬率为7%，则A计划更佳。
阿拉斯加成为美国领土的过程曲折离奇。19世纪初，居住在阿拉斯加南部的特林吉特印第安人部落同入侵的俄国人接连进行了两次战争，最终败给俄国人，阿拉斯加成为俄国领土。但是，1856年克里米亚战争后，俄国元气大伤，沙皇亚历山大二世决心卖掉这块土地收回资金。由于阿拉斯加紧邻加拿大，加拿大当时属于英国控制，而英国和俄国当时处于敌对状态，因此沙皇希望美国人购买阿拉斯加，同时也可以牵制英国的发展。
1867年3月，俄国派官员到美国洽谈出售阿拉斯加的问题。时任美国国务卿威廉·西沃德代表美国同俄国谈判时，开始出价500万美元，后以720万美元的价格同俄国在一夜之间达成了购买协议，由于担心变故，西沃德与俄方代表第二天凌晨就在协议书上正式签字。终于，美国以绝对低廉的价格（每平方千米4.74美元），买到了面积达150多万平方千米的巨大半岛及其周边的阿留申群岛。
当时的美国，很多人对阿拉斯加一无所知。西沃德签订购买阿拉斯加协议后，国内一片反对声，说阿拉斯加是“西沃德的冰箱”，购买阿拉斯加是“一笔糟糕的交易”“一个异乎寻常的错误。”西沃德被舆论骂得躲在家里许多天。
不过经过多方努力，西沃德还是争取到了国会的支持。1867年4月和7月，参众两院分别以多数票通过了这项协议。现在看来，美国人的确应该感谢西沃德这位政治家的远见。据估计，今天的阿拉斯加，“地价”约值3万亿美元。阿拉斯加地下埋藏着5.7万亿m 3 的天然气和300亿桶原油，现在价值超过2万亿美元！更不用说阿拉斯加紧邻俄罗斯远东地区，具有优越的战略位置。
● 讨论题
从财务投资学角度，你认为美国政府购买阿拉斯加是不是“一笔糟糕的交易”（假设美国政府要求的投资报酬率为5%）？
在现实生活中，由于大部分企业的业务是连续不断地发生的，所以有许多资金的收付不是一笔完成，而是一个系列的收付过程，其中还有些是等额的连续收付业务。比如，企业与国家签订合同、每年支付土地出租金或与员工签订等额报酬的固定劳动合同等。对于这些有规律的资金收付，如果按一次性收付款的规则来计算其终值或现值，势必非常麻烦。因此，在财务管理学中，对年金有专门的计算方法。在本节中，我们将根据年金的具体类型分别进行讨论。
普通年金也称后付年金，是指每期期末定期等额收付的资金。比如个人住房贷款中的等额还款或等额的租金支付等。普通年金的资金收付如图3-3所示（设年金的金额为 A ，收付期数为 n ）。
图3-3 普通年金的资金收付
普通年金的计算分为年金终值和年金现值两种，分别讨论如下。
（1）普通年金终值。要计算普通年金的终值，先要弄清它的含义。我们先看一个例子。小吴是位热心公众事业的人，自2018年12月底开始，他每年都要向一位失学儿童捐款。小吴每年捐款1000元，帮助这位失学儿童从小学一年级开始直至读完九年义务教育。假设每年定期存款利率都是2%，则小吴9年的捐款在2026年年底相当于多少钱？
小吴的捐款时间和金额如图3-4所示。
图3-4 小吴的捐款时间和金额
上图中，每个节点的1000元表示每年年底的捐款，9年捐款的终值，相当于将2018—2026年每年底的捐款1000元都计算到2026年年底终值，然后再求和。普通年金终值是指对于设定每期收付款金额，在给定收付期数和利率的情况下，求年金在到期时的本利和。假设年金的金额为 A ，收付期数为 n ，利率为 i ，则普通年金终值计算如图3-5所示。
图3-5 普通年金终值计算
分别计算每一年收付款的终值，则
第1年收付款终值FV 1 = A （1+ i ） n -1
第2年收付款终值FV 2 = A （1+ i ） n -2
……
第 n 年收付款终值FV n = A （1+ i ） n-n
普通年金终值FV A =FV 1 +FV 2 +…+FV n = A （1+ i ） n -1 + A （1+ i ） n -2 +…+ A （1+ i ） n-n
= A [（1+ i ） n -1 +（1+ i ） n -2 +…+（1+ i ）+1]
按上式计算年金终值，比较复杂。我们可以简化它的计算公式。
FV A （1+ i ）= A [（1+ i ） n -1 +（1+ i ） n -2 +…+（1+ i ）+1]（1+ i ）
= A [（1+ i ） n +（1+ i ） n -1 +…+（1+ i ） 2 +（1+ i ）]
FV A （1+ i ）-FV A = A [（1+ i ） n +（1+ i ） n -1 +…+（1+ i ） 2 +（1+ i ）]- A [（1+ i ） n -1 +（1+ i ） n -2 +…+（1+ i ）+1]
= A [（1+ i ） n -1]
i FV A = A [（1+ i ） n -1 ]
FV A = A [（1+ i ） n -1 ]/ i
上式中，[（1+ i ） n -1]/ i 被称为普通年金终值，用FVIFA（ i ， n ）表示，由于计算比较复杂，人们一般用电子计算机编制程序计算，或利用已编制完成的表格查表计算。书后附录列示了年金终值系数表。
上例中，小吴的9年捐款终值应为
1000×FVIFA（2%，9）=1000×9.7546=9754.6（元）
例3-3 （欠款支付问题）2008年12月，俄罗斯与乌克兰两国关于天然气价格和天然气债务问题的争端再起。当月18日，俄罗斯天然气工业股份公司发言人透露，乌克兰石油天然气公司2008年11月和12月拖欠俄方欠款以及滞纳金合计超过20亿美元。31日，俄罗斯天然气工业股份公司与乌克兰石油天然气公司有关2009年天然气供应的谈判无果而终，俄罗斯天然气工业股份公司总裁米勒随即表示，由于乌方未向俄方支付供气欠款，且俄乌双方未能签署新的供气合同，俄方于2009年1月1日莫斯科时间10时起中断对乌克兰供气。俄乌两国能源公司于2009年1月8日重开谈判。现假设乌克兰石油天然气公司在2008年12月31日欠俄罗斯天然气工业股份公司20亿美元，乌方在谈判时提出两种方案：方案一是从2009年1月起分7个月支付21亿美元，每个月月末定期支付3亿美元；方案二是到2009年7月底，一次性支付22亿美元。试回答以下问题。
（1）如果俄方的投资报酬率为每月1%，哪一个方案比较有利？
（2）如果俄方的投资报酬率为每月2%，哪一个方案比较有利？
上述乌方提出的欠款偿是一个年金，从俄方角度看，哪个方案有利主要看它们在2009年7月底终值的大小。方案二的终值在7月底是确定的，即为22亿美元。方案一的终值有两种情况：①如果俄方要求的投资报酬率为每月1%，则方案一的终值为21.6405[=3×FVIFA（1%，7）=3×7.2135]亿美元；②如果俄方要求的投资报酬率为每月2%，则方案一的终值为22.3029[=3×FVIFA（2%，7）=3×7.4343]亿美元。因此，如果俄方的投资报酬率为每月1%，则方案二更有利，如果俄方的投资报酬率为每月2%，则方案一更好。
（2）普通年金现值。普通年金的现值计算在现实生活中也比较常见。比如，赵小姐最近准备买房，她收集了好几家开发商的售房方案，其中一个方案是A开发商出售一套100m 2 的住房，要求首期支付10万元，然后分10年每年支付3万元，年底支付。另一个方案是B开发商出售100m 2 的住房，要求付现金，每m 2 的价格为3000元。哪个方案价格更便宜呢？这就需要将每年支付的3万元折算为现值，然后再相加，得出年金的现值，再与首付款相加，得到平均价格，才能比较。
在财务管理学中，计算普通年金的现值，就是将普通年金的每一笔收付款折算为现值再求和。设有一笔普通年金，每年收付款金额为 A ，期限为 n 期，利率为 i ，则普通年金的现值的计算如图3-6所示。
图3-6 普通年金现值计算
如图3-6所示，普通年金现值PV A = A （1+ i ） -1 + A （1+ i ） -2 +……+ A （1+ i ） -n
按照以上公式计算显然比较麻烦，我们可以对该公式进行推导。将上述等式两边同时乘以（1+ i ），得
（1+ i ）PV A =[ A （1+ i ） -1 + A （1+ i ） -2 +…+ A （1+ i ） -n ]（1+ i ）
=[ A + A （1+ i ） -1 + A （1+ i ） -2 +…+ A （1+ i ） -n +1 ]
（1+ i ）PV A -PV A =[ A + A （1+ i ） -1 + A （1+ i ） -2 +…+ A （1+ i ） -n +1 ]-[ A （1+ i ） -1 + A （1+ i ） -2 +…+ A （1+ i ） -n ]
=iPV A
= A-A （1+ i ） -n
= A [1-（1+ i ） -n ]
PV A = A [1-（1+ i ） -n ]/ i
如果不用数学推导，我们从年金的终值公式也能算出年金现值公式。设有一笔普通年金，每年收付款金额为 A ，期限为 n 期，利率为 i ，则年金终值为FV A = A [（1+ i ） n -1]/ i 。将该终值折算为现值，则PV A ={ A [（1+ i ） n -1]/ i }（1+ i ） n = A [1-（1+ i ） -n ]/ i 。
上式中，[1-（1+ i ） -n ]/ i 被称为年金现值系数，用PVIFA（ i ， n ）表示。比如PVIFA（6%，6）表示[1-（1+6%） -6 ]/6%。人们可以通过计算机编制程序进行计算，或者可以直接参考附录中的年金现值系数表。
根据上述公式，假设赵小姐的住房贷款年利率为6%，则6年每年付3万元的现值为
PV 3 =3·PVIFA（6%，10）=3×7.3601=22.0803（万元）
A开发商的总价款为32.0803万元，每平方米3208元，比B开发商的价格高。
例3-4 （出租出售问题）杨先生是一家建筑机械公司的总经理。公司主营水泥搅拌车、挖土机等机械业务。一天，他与一位客户谈一笔生意。客户是某镇建筑公司的业务代表，他想承租建筑机械公司的挖土机10台，每年租金为60000元，租10年，租金在每年年末支付。杨先生对外出售挖土机的售价为35000元/台，而10年后收回的挖土机也几乎毫无价值。假设杨先生认为企业每年的总资产报酬率应不低于10%，则杨先生是否应该出租这10台挖土机？
要回答这个问题，主要是比较10台挖土机的出租收益和出售收益谁更大。由于出租的租金收入不是现值，而出售收入是现值，因此二者不能直接比较，但我们可以将出租的租金收入折算为现值，从而进行比较。在折算时，不能以银行一年定期存款利率进行折算，因为它是资金持有人投资银行时的货币时间价值，从企业的角度说，企业的资产并不投资于银行，而是在自身的经营中，因此它的货币时间价值不按银行利率计算，而是按自己的资产报酬率增长，因此在上例中，计算出租租金的现值，应该以企业的总资产报酬率作为计算PVIFA（ i ， n ）中的 i 。
根据以上分析，计算如下：
10年租金的现值=60000×PVIFA（10%，10）=60000×6.1446=368676（元）
现在出售的价值=10×35000=350000（元）
显然，如不考虑出租服务和市场影响问题，出租的收益更大，应该出租。
永城煤电控股集团有限公司（以下简称永煤集团）是河南省著名煤炭集团企业，因经营需要，永煤集团于2020年2月12日在上海证券交易所发行总额10亿元、利率为4.39%的超短期融资券“20永煤SCP003”，发行期限为270天，到期日为2020年11月10日。然而，因流动资金紧张，2020年11月10日，永煤集团发布公告，称“20永煤SCP003”不能按期足额偿付本息，形成实质性违约。信息披露后，永煤集团的证券信用等级从AAA级下调到BB级，引发大型企业集团债券市价的震荡。自11月10日至12月10日，推迟或取消发行的信用债多达143只，涉及债券规模1107.2亿元。
为解决债务危机，永煤集团提出了债务重组方案，12月16日，永煤集团和债权人经协商达成重组协议，12月16日支付50%的债券本金，余下的本金和利息展期270天支付。
● 讨论题
（1）画出永煤集团超短期融资券持有人投资债券的现金收支分布图。
（2）根据资料，假如债券投资者2020年2月12日购买永煤集团超短期融资券10000元，投资必要报酬率为每年3%，那么投资永煤超短期融资券所收到的本金和利息现值是多少？
所谓先付年金，是指在每期期初收付的年金。在现实生活中，先付年金的主要例子包括企业每个月月初预付租金、每年年初房产投保、学生每个学期期初预交学费等。与普通年金相比，其资金的收付相当于前移一期，两类年金的资金收付对比如图3-7所示。
图3-7 普通年金和先付年金资金收付对比
先付年金货币时间价值的计算包括终值和现值。
（1）先付年金的终值。先付年金终值的计算其实就是将先付年金在某个时点的终值计算出来，这个时点就是最后一期收付款的期末。由于先付年金与普通年金之间存在一定的关系，我们可以通过普通年金的计算公式推导出先付年金的计算公式。从图3-7我们可看出，先付年金相当于普通年金整个往前推移了一期，因此它的终值理论上应该比期数、金额和利率完全相同的普通年金多计算一次复利。所以期数为 n 、利率为 i 、每期收付金额为 A 的先付年金终值应为FVAD= A ·FVIFA（ i ， n ）·（1+ i ）。
例3-5 （特许权使用费问题）2015年年初杨先生下岗，开始规划创业。他看到邻市一家瑜伽会馆搞得很红火，便与该会馆联系。馆主告诉他，如果杨先生愿意在所在地开设一家分馆，每年大约能得到5%左右的投资报酬。馆主可以帮助培训员工、设置会馆，广告联系会员，前提是杨先生需要先缴纳加盟费50000元。杨先生提出如果投资会馆，就暂时没有那么多钱来付加盟费。馆主又提出加盟费可以从2015年年初到2020年年初的期间内分6次支付，每次支付10000元。回家后杨先生联系政府失业人员创业扶持中心，中心人员告诉他下岗人员凭失业证可以申请50000元以内的贷款，年利率为3%，5年后本利一次还清，采用复利计息。杨先生不知道是该用贷款一次性支付加盟费还是分次支付加盟费。
要解决这个问题，首先要确认杨先生投资的货币时间价值。假设投资每年得到5%的报酬，则选择贷款一次性支付还是分期支付加盟费主要看贷款或分期支付在第5年年末（2019年年末）终值的大小，选择终值小的支付方式。两种方式下的终值计算见表3-2。
表3-2 两种方式下的终值计算金额单位：元
注意上述计算中，贷款偿还不应用5%的报酬率计算终值，而应按银行利率算；分期付款部分终值按5%计算，这是因为付款后这部分资金不能参与周转，因而损失5%的报酬。上述计算比较麻烦，考虑到分期付款其实就是一个5年期的先付年金再加最后一年的到期支付款，则分期付款方式的终值可用先付年金的终值计算方法来计算：
前5年年金终值=10000×FVIFA（5%，5）×（1+5%）=10000×5.5256×1.05=58018.8（元）
最后一次支付的终值10000×FVIFA（5%，0）=10000（元）
总计终值为65018.8元，与列表计算的结果相同。
（2）先付年金的现值。先付年金的现值其实就是将先付年金的各项收付款的现值计算出来，再进行加总后得到的结果。从图3-8中我们可看出，期限为 n ，每次收付额为 A 的先付年金可看成两个部分，一个部分是期初支付的年金 A ，它的现值就是 A ，另一部分是从第1年年末到第 n -1年年末的系列收付，它相当于一个 n -1年、每次收付额为 A 的普通年金。因此我们可以利用普通年金的计算方法来推导先付年金的现值。
先付年金现值的计算如图3-8所示。
图3-8 先付年金现值的计算
因为先付年金首次支付在年初，因此可以将它看成是现值，价值为 A （1+ i ） 0 ，从第2年年初到第 n 年年初支付的年金，相当于第1年年末到第 n -1年年末的普通年金，因此可以将这部分按 n -1年的普通年金现值计算，因此先付年金的现值为
PVAD= A + A [1-（1+i） -n +1 ]/i= A {1+[1-（1+ i ） -n +1 ]/ i }= A [1+PVIFA（ i ， n -1）]
例3-6 郑女士想在社区开一个服装干洗店，于是联系了几家干洗设备生产厂家。在一家工业洗涤设备有限公司网站上，郑女士看到开服装干洗店所需要的设备及价款见表3-3。
表3-3 服装干洗店所需要的设备及价款单位：元
郑女士联系了厂家，询问设备价款是否可以分期支付，厂家答复可以分6年付款，每年年初支付20000元。假设郑女士资金的投资报酬率为每年5%，应一次支付还是分期支付？
要解决这一问题，主要看分6年支付的付款现值是否高于98700元，由于分期支付属于先付年金，因此其现值为106590（=20000+20000×PVIFA（5%，5）=20000+20000×4.3295）元，高于一次支付金额，因此应一次性支付。
所谓递延年金，是指年金的收付不是从当期开始，而是从若干年以后开始，这在项目投资中经常出现。比如，赵先生现在有两个备选投资项目，初始投资都是1000万元，但建设期不同。A项目建设期3年，每年年末收回现金200万元，可经营7年；B项目建设期2年，每年末可收回150万元，可经营9年。赵先生应选择哪个项目呢？上述A、B两个项目经营期收回现金就是一个递延年金问题。由于递延年金的前若干期无现金收付，因此其终值和现值的计算与普通年金不同，需要按特定的方式计算。
假设某递延年金每次收付金额为 A ，在第 m-n 期期末支付，其资金收付如图3-9所示。
图3-9 递延年金资金收付
递延年金的计算也分终值和现值两个方面，分别讨论如下。
（1）递延年金终值。递延年金终值的计算就是将每次收付的资金价值折算到最后一期收付的期末，求其终值，然后再加总。考虑到递延年金可能有许多期，因此每次收付分别计算终值非常麻烦。我们可以利用普通年金终值的计算方法推导递延年金终值计算公式。
要利用普通年金终值计算公式计算递延年金终值，我们需要理解递延年金与普通年金的区别，如图3-10所示。
图3-10 递延年金与普通年金资金的区别
从上图中我们可看出，期限相同的普通年金与递延年金最大的区别，在于普通年金从第1年到第 m -1年都有等额资金收付，而递延年金没有。实际上从第 m 年年初看，递延年金就是一个 n-m +1年的普通年金，假设利率为 i ，则每次收付金额为 A ，在第 n-m 期期末支付的年金终值为FV A = A ·FVIFA（ i ， n-m +1）。
仍以赵先生的两个备选投资项目为例，A项目投资收回资金的时间和金额分布如图3-11所示。
图3-11 A项目投资收回资金的时间和金额分布
假设赵先生要求的投资报酬率达到6%，则A项目第10年收回投资终值为1678.76 [=200×FVIFA（6%，10-4+1）=200×8.3938]万元。
B项目投资收回资金的时间和金额分布如图3-12所示。
图3-12 B项目投资收回资金的时间和金额分布
假设赵先生要求的投资报酬率达到6%，则B项目第10年收回投资终值为1484.625 [=150×FVIFA（6%，10-3+1）=150×9.8975]万元。
综合比较两个项目的终值，A项目更佳。
（2）递延年金现值。递延年金现值的计算比终值计算复杂。我们仍然利用普通年金的现值计算方法来计算递延年金现值。由于期限相同的普通年金与递延年金最大的区别，在于普通年金从第1年到第 m -1年都有等额资金收付，而递延年金没有。因此，如果先求出期限为 n 的普通年金现值，再减去 m -1期普通年金现值（ m -1期年金实际未发生），就可以计算出每次收付金额为 A ，在第 m-n 期期末支付的递延年金现值，用公式表示如下。
PV A （ m-n ）= A [PVIFA（ i ， n ）-PVIFA（ i ， m -1）]
递延年金现值的计算如图3-13所示。
图3-13 递延年金现值的计算
仍以赵先生的投资项目决策为例，A项目投资收回现金的现值为
PV A （4-10）=200×[PVIFA（6%，10）-PVIFA（6%，3）]
=200×[7.3601-2.6730]
=937.42（万元）
B项目投资收回现金的现值为
PV A （3-10）=150×[PVIFA（6%，10）-PVIFA（6%，2）]
=150×[7.3601-1.8334]
=829.005（万元）
A项目的投资收回现值大于B项目，因此A项目比B项目好；但如果比较初始投资，两个项目都不可取（收回的现值都小于初始投资价值）。
一般情况下，年金的收付期数有一个确定的期限，但在经济生活中有些年金无法确定其收付期数。比如，某公司每年固定发放股利，每股价值2元，则股票持有人只要不转让股票，就可以每年获得2元收入，无限期延续下去。我们将无确定收付期限的年金称为永续年金。在财务管理中，股票定价、土地估价等都可能遇到永续年金问题。
（1）永续年金终值。永续年金的终值计算方式与普通年金相同。假设某永续年金的期限为 n （ n 趋于无穷大），每次收付金额为 A ，利率为 i ，则永续年金的终值FV A （ n =∞） = A [（1+ i ） n -1]/ i ，当 n 趋于无穷大时，由于 A 、 i 都是有界量，（1+ i ） n 趋向无穷大，因此FV A （ n =∞） = A [（1+ i ） n -1]/ i 趋向无穷大。
（2）永续年金现值。永续年金的现值计算方式与普通年金相同。假设某永续年金的期限为 n （ n 趋于无穷大），每次收付金额为 A ，利率为 i ，则永续年金的现值PV A （ n =∞） = A [1-（1+ i ） -n ]/ i 。当 n 趋向无穷大时，由于 A 、 i 都是有界量，（1+ i ） -n 趋向无穷小，因此PV A （ n =∞） = A [1-（1+ i ） -n ]/ i 趋向 A / i 。因此，该永续年金现值等于 A / i 。
例3-7 （奖学金问题）归国华侨冯先生想支持家乡建设，特地在祖籍所在县设立奖学金。奖学金每年发放一次，奖励该县每年高考的文、理科状元各10000元。奖学金的基金设立在该省信托投资公司，信托投资公司承诺每年该奖学金基金投资报酬率达到5%，问冯先生要投资多少钱作为奖励基金？
由于每年都要拿出20000元，因此奖学金的性质是一项永续年金，其现值应为
20000/5%=400000（元）
也就是说，吴先生要存入400000元作为基金，才能保证这一奖学金的成功运行。
诺贝尔奖是以瑞典化学家阿尔弗雷德·诺贝尔（Alfred B.Nobel，1833—1896）的遗产设立的奖项。
诺贝尔是杰出的化学家，他于1833年10月出生在瑞典首都斯德哥尔摩。他的一生中有许多发明，其中最为主要的是安全炸药。这项发明使他获得了“炸药大王”的称号，并使他成为百万富翁。他希望他的这项发明能够给人类开创美好生活做出贡献，但事与愿违，炸药被广泛地使用于战争。这使他在人们心目中成了一个“贩卖死亡的商人”，为此，他深感失望和痛苦。诺贝尔在逝世前立下遗嘱，把遗产的一部分—920万美元作为基金，以其每年约为20万美元的利息作为奖金，奖励那些为人类的幸福和进步做出卓越贡献的科学家和学者。为此，瑞典于1900年6月29日专门成立了诺贝尔基金会，并由其董事会管理和发放奖金。
诺贝尔奖奖项分为物理学奖、化学奖、生理学或医学奖、文学奖以及和平奖五项。物理学奖和化学奖由瑞典皇家科学院负责颁发，生理学或医学奖由瑞典卡罗林斯卡医学研究院负责颁发，文学奖由瑞典文学院负责颁发，和平奖由挪威议会（当时挪威与瑞典同属于一个王国）负责颁发。1968年瑞典银行决定增设经济学奖，这项奖项的奖金由瑞典银行提供。2012年我国作家莫言获得诺贝尔文学奖，获得800万瑞典克朗（约合人民币750万元）奖金；2015年，我国女科学家屠呦呦获得诺贝尔生理学或医学奖，实现了中国本土科学家在自然科学领域诺贝尔奖零的突破。随着我国社会主义事业的发展，未来将会有更多的中国人获得诺贝尔奖。
资料来源：百度百科栏目词条。
● 讨论题
（1）如果诺贝尔奖以920万美元作为基金，基金年投资报酬率为5%，则每年可用于发放奖金的数额为多少才能保证奖金持续发放？
（2）2015年度诺贝尔生理学或医学奖奖金为92万美元，假设其他5个奖项的奖金都是92万美元，则2008年度诺贝尔基金会的总资产需要达到多少才能保证2015年度诺贝尔奖的正常发放？
在之前的学习中，我们总假设利息的计算是一年一次。但在现实经济生活中，有时有半年或3个月计算一次利息的情况。由于利息的计算可能一年多次，因此可能出现按名义年利率折算出的货币时间价值与实际价值不符合的情况。我们来看下面的一个例子。
张先生于2015年1月1日存入2000元，存期3个月，4月1日到期后，又转存3个月，如此往复，直到2016年1月1日取出，则该笔存款的到期本利和为多少？
由于月利率为0.1425%，因此3个月的为0.4275%，则1年后存款的本利和为
2000×（1+0.4275%） 4 =2000×1.01721=2034.4（元）
1年后的利息为34.4元，年利率为34.4/2000=1.72%，与当时规定的1.71%（=0.1425%×12）的年利率不相等。为什么会出现这种情况呢？这是因为1.71%是按每个月的单利计算方法计算的，而我们计算出来的实际利率1.72%是按每3个月复利一次计算出来的，因此这二者有差别。
如果在计算利息时，每年计算 n 次，则我们将没有经过复利计算，而是根据具体计算利息期限的利率乘以年计息次数算出来的利率成为名义利率。比如，B公司债券半年计算一次利息，半年的票面利率为4%，则一年的名义利率为8%（=4%×2）。
在利息计算方法按单利计算的条件下，名义利率与实际利率相同，但在复利计算方法下，名义利率要小于实际利率。
实际利率是指当一笔资金的利息计算不是一年一次，而是一年多次的情况下，由于采用复利计算利息而计算出来的实际利率。假设一笔资金的名义利率为 i ，每年计息 n 次，则每次计算利息的利率为 i / n ，这相当于每年复利 n 次，每次复利的利率为 i / n 。假设某人初始存款为 A ，则年后存款本利和为 A （1+ i / n ） n ，实际利率为[ A （1+ i / n ） n -A ]/ A =（1+ i / n ） n -1。
例3-8 自某年10月15日起，我国境内美元存款利率见表3-4。
表3-4 我国境内美元存款利率
周先生做出口生意获得美元10000元，他不想将这些美元花掉，而想存下来以备不时之需，因此将美元存入银行，周先生应如何储蓄才能保证实际利率最大？
要解决这个问题，首先要计算各种不同储蓄方式在1年内增值的程度，该程度可以通过计算1年的实际利率进行比较，见表3-5。（为方便实际利率的计算，设年初存款为100元）
表3-5 不同储蓄方式储蓄1年的实际利率单位：元
上表中，年末利息是根据名义年利率计算来的，比如1个月期的名义年利率为1.75%，1年后的利息为176.41[=10000×（1+1.75%/12） 12 -10000]美元。从上表计算可看出，存1年期存款的到期转存实际利率最大，为2.5%。