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数学建模是连接现实问题与数学研究的桥梁。人们基于自身的经验和认知，通过引入变量、因变量等数学概念，从空间形式和数量关系的角度对现实问题予以抽象和简化，从而构建相关的数学模型。从经典力学中的速度、加速度，到电子电路中的电容、电阻，诸多现实问题中的机理都可以用微积分的形式予以表述。因此，现实问题的数学模型往往是含有微分项的数学方程，也称为控制方程。对于一个定义于时间域
和空间域
的微分方程模型系统，可将其抽象为如下形式：
其中，
为方程的解，其维度可用
表示；
为（线性或非线性）微分算子，
为边界条件算子，
为初始条件。
常微分方程和偏微分方程是最常见的两类微分方程模型，下面介绍其相关基础知识。
微分方程是联系自变量、未知函数及其导数的关系式。如果微分方程的未知函数（
）只含有一个自变量（如时间
或空间
），则此类方程被称为常微分方程（ordinary differential equation，ODE）：
其中，
表示含有自变量
和未知函数
及其各阶导数
的已知函数。如果一个方程不含有未知函数关于自变量的导数，则不能称之为微分方程。
常微分方程被广泛用于现实问题的数学建模。电阻-电容电路的基尔霍夫定律（Kirchhoff's law）、自由落体的运动方程、捕食者与猎物的种群竞争方程等均可用常微分方程（组）来描述，如图2.1所示。在微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数被称为该微分方程的阶数。基尔霍夫定律中未知函数
的最高阶导数为
，即该方程为二阶常微分方程。以此类推，自由落体的运动方程为二阶常微分方程，种群竞争方程为一阶常微分方程组。
图2.1 3种常见的常微分方程
为了简化符号表示，在后续表述中做以下规定：
在式（2.2）中，如果函数
是未知函数
及其各阶导数
的一次有理整式（多项式），则称该微分方程为
阶线性微分方程，否则称之为非线性微分方程。假设
为因变量
的已知函数，可将线性微分方程整理为一般表达形式：
当函数
时，式（2.3）为齐次，否则为非齐次。
式（2.2）的解分为显式解和隐式解。如果将函数
代人微分方程使之成为恒等式，则称
为该方程的显式解；如果微分方程的解以关系式
的形式展现，则称关系式
为该方程的隐式解。例如，
和
为一阶微分方程
的显式解，
为该方程的隐式解。
如果
为
阶常微分方程[式（2.2）]的解，且含有
个相互独立的任意的常数
，则称其为该方程的通解。在现实问题中，往往需要获得微分方程模型的特定解。此时，方程的解必须满足定解条件，
也为特定数值。常见的定解条件包含初值条件和边界条件。求满足初值条件的解的问题称为初值问题，或柯西问题（Cauchy problem）；求满足边界条件的解的问题称为边值问题。
以初值问题为例，对于式（2.2），其初值条件指当自变量在定义域内取某特定值
时，未知函数及其低于方程阶数的导函数满足以下关系：
此处
为给定的
个常量或函数。可以看出，初值条件的数量应与微分方程的阶数相同；而初值条件取不同常量时，方程特解也随之变化。
综上所述，当对现实问题进行建模时，一个有效的数学模型不仅要包含微分方程，也要包含定解条件。
偏微分方程比常微分方程拥有更宽广的应用范畴，是流体力学、量子物理、电磁学、生物化学、传染病动力学等诸多领域的主流数学建模形式。不同于常微分方程，偏微分方程中的未知函数
往往含有两个及以上的自变量。其中，时间
和空间
是针对现实问题所建立的数学模型中常见的两类自变量。在偏微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数称为该微分方程的阶数。二阶偏微分方程是应用极为普遍的偏微分数学模型，也是本书的重点研究对象之一。
为了简化符号表示，在后续表述中做如下规定：
此处未知函数下角标的前后顺序表示求导的先后顺序。
当偏微分方程的最高阶导数为线性格式时，该方程可称为拟线性偏微分方程。以含有两个自变量
的二阶偏微分方程为例，可将其写为如下形式：
根据最高阶导数的系数
的相互关系，式（2.6）可分为3种类型，如表2.1所示。
表2.1 3种偏微分方程类型
不同类型的偏微分方程，其解呈现出不同的性质。在实际应用中，最高阶导数的系数
可能都是自变量的函数。因此，一个偏微分方程可能在不同的空间位置上呈现出不同的方程性质。
在实际应用中，往往需要通过确定定解条件来获得现实问题的特定解。初值条件（多指时间维度
）或边界条件（多指空间维度
）的数量需与对应导数的阶数相同。表2.1中的波方程含二阶时间导数，故需要两个初值条件；热传导方程仅需要一个初值条件；而拉普拉斯方程由于没有时间导数项，故不需要初值条件。
边界条件可以分为3种类型。令
代表空间自变量
取值空间的边界表面（如含有两个空间自变量则代表边界曲线），
为边界条件中的已知信息。当微分方程的解
在边界表面为已知函数时，称之为第一类边界条件（也称狄利克雷边界条件，Dirichlet boundary condition）：
当
在边界表面向外法向
导数为已知函数时，可以得到第二类边界条件（也称诺伊曼边界条件，Neumann boundary condition）：
第三类边界条件（也称罗宾边界条件，Robin boundary condition）为前两类边界条件的线性组合，即
在边界表面的函数值和向外法向导数的线性组合为已知函数：
综上所述，微分方程的解
由方程和定解条件的类型所决定。不同类型下，
会呈现截然不同的性质，也需要特定的数值方法予以求解。因此，对现实问题进行建模时，不仅需要选择合理的微分方程，也需要选取合适的定解条件。