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对接接头是广泛使用的焊接接头类型，其变形规律值得进行研究。在对接接头施焊时，会在所焊板材平面和超出所焊板材平面以外区域产生变形。应力和变形分别是压缩塑性应变的内在、外在表达载体，认识、掌握平板焊接过程中变形和应力的变化、计算具有基础意义，例如，实际生产中有工人在产生非塑性应变的弹性区域进行无效的加热矫形，耗时长、效率低。因此，建立板条模型用于焊接变形产生过程的说明，对指导焊接生产具有重要意义。
计算板条加热时的变形量和应力，需建立加热过程中板条变形和应力的简易模型，加热板条模型如图2-1所示，横坐标为距热源中心距离，纵坐标为加热温度、自由变形、实际变形。
在板条不均匀加热的情况下，如果将板条的各纵向窄板条看作是均匀加热，但被限制自由移动的杆件，则可用窄板条均匀加热原理来分析整体变形和应力变化。
如果在板条的某一截面上温度沿宽度的分布以曲线 T 表示，则板条各纵向窄板条的相对热伸长以曲线 λ 表示。因为每根窄板条的实际变形与其他窄板条的变形协同相关，并且认为平面假设是正确的，这对于板条变形分析是准确的，实际变形不是以曲线 λ 而是以直线 Δ 表示。自由变形设 λ y ；实际变形设 Δ y 。
图2-1 板条加热时截面内塑性和弹性变形演化
由于曲线 λ 与直线 Δ 没有重合，所以在板条内产生应力，这些应力决定于该窄板条不受任何限制自由伸长时的变形 λ y 与该窄板条在实际中所得到的变形 Δ y 之差，即：
σ y = E （ Δ y -λ y ）= Eσ s
这些应力可能是压应力（当 λ y ＞ Δ y 时），也可能是拉应力（当 Δ y ＞ λ y 时）。如果任何窄板条的相对变形 ε y 小于屈服极限相对应的变形 ε s ，则在所有窄板条内将只有弹性变形，且应力 σ y 小于屈服极限 σ s 。
如果某些窄板条的相对应变 ε y 绝对值大于 ε s ，除弹性应变外，则还有塑性变形 ε ∏ ：
ε ∏ =| ε y |--| ε s |=| Δ y -λ y |--| ε s |
在这种情况下，在所研究的截面上的应力图将具有和弹性变形图一样的形状，如图2-1a所示中的阴影面积。
按照弹性变形和塑性变形的值，可将板条的宽度划分为4个区域。
1）区域1，弹性变形区。
在从 y 3 到 h 的一段内，只产生弹性变形，因为 Δ y -λ y < ε s ，于是在这一区段内的应力 σ y = E （ Δ y -λ y ）< σ s 。
2）区域2，温度小于500℃，弹性变形保持不变，也产生塑性变形。
在板条从 y 2 到 y 3 的一段内， Δ y -λ y > ε s ，弹性变形保持不变并等于 ε s ，于是应力为 σ y = Eε s = σ s 。在这一区段内，除了弹性变形以外也产生塑性变形。
3）区域3，温度在500～600℃，发生弹性变形、塑性变形。
从 y 1 到 y 2 的一段内，此处的温度由500℃改变到600℃，既产生弹性变形又产生塑性变形，此时应力等于
式中，
为与处于不同温度各窄板条的屈服极限对应的相对变形，其值自
ε
s
（
T
=500℃时）改变到0（
T
=600℃时）。
4）区域4，温度大于600℃，发生塑性变形。
当温度大于600℃时，只产生塑性应变。最后，在从0到
y
1
的一段内，加热温度超过600℃，所以只产生塑性变形。此时
σ
y
=0，因为
和
。
由于所分析截面上没有附加外力，故所有内力应处于平衡状态，亦即这些内力的总和及其对于任一点力矩的总和应等于零。根据内应力平衡原理，可列出下列两个方程式：
如果方程式（2-1）中的 σ y 值以 ε y 来表示，对 y 1 到 y 2 、 y 2 到 y 3 两区段间内进行积分，则可得出下列各式：
如果加上直接从图2-1b中 y 3 时刻（500℃）的自由变形、实际变形的关系，可得
则从这三个方程可求解出特定点的实际变形：
、
Δ
0
及
Δ
h
。
若温度的分布不包括超过500℃的区域，则变形图将大大简化，具有如图2-1b所示的形式。同时，式（2-2）、式（2-3）亦将简化为：
如果板条加热超过500℃，温度分布曲线又相当陡斜的话，则板条全宽度内任何地方将不发生塑性变形，这样式（2-2）、式（2-3）可以写为：
若函数 λ = f （ y ）为已知时，则由于：
两个方程式即可解出两个特定时刻的实际变形 Δ 0 、 Δ h ，它们决定着直线 Δ 的位置以及弹性变形和应力的值。
因此，如果已知某截面内的温度分布，则可以确定实际的相对变形 Δ 和板条在该截面内的曲率 C ：
总之，已知焊接板材某截面内的温度，不仅可计算截面内的相对变形 Δ 和曲率 C ，也可计算任何窄板条的弹性变形和塑性变形，塑性变形是由温度和其他窄板条对该窄板条的约束作用所引起的。
分析冷却过程中的瞬时变形和瞬时应力，可参照加热过程变形和应力分析模型进行分析。如果板条如在加热时无塑性变形，则冷却后无剩余变形和内应力存在。如果在加热过程中在板条内发生有塑性变形，塑性变形对于板条中各窄板条在随后的冷却变形有影响。建立的窄板条冷却变形应力模型如图2-2所示。
如果每一窄板条在冷却时可不受其他窄板条的牵制而独立变形，则某一窄板条长度并无差别，长度的差别即为该窄板条在冷却过程中所得到的塑性变形值。因此，如果窄板条可不受其他窄板条的牵制而独立变形，则这些窄板条的变形可用曲线表示，曲线的纵坐标可用下式表示：
式中，
ε
∏
为研究瞬间的塑性变形量；
为最终残留变形量；
λ
y
为自由变形量。
因为板条的各窄板条不可能互相互不牵制而独立变形，所以窄板条实际变形量由直线 Δ 所决定。直线 Δ 的位置以类似式（2-2）、式（2-3）的公式来决定。
当直线的位置确定了以后，既可以确定各窄板条的弹性变形，又可以确定在该瞬间冷却到600℃的窄板条的塑性变形。
如果在以后各瞬间内这一窄板条未得到相反符号的塑性变形，则到板条完全冷却为止，该窄板条仍旧保持这塑性变形。例如，窄板条
α
（见图2-2a）在冷却到600℃时所得到的塑性变形等于
。在以后的各瞬间（见图2-2b）这一窄板条得到塑性拉伸变形
，因此，所研究的窄板条剩余变形将等于：
图2-2 板条冷却时截面内塑性和弹性变形演化
依次研究冷却过程中变化的各瞬间，可以得到各窄板条的塑性变形量，综合以前的塑性变形后，它们可决定板条的剩余变形，在板条完全冷却后，也就是板条所有的窄板条达到其原始温度后将发生这些剩余变形。
在板条完全冷却后，确定板条内剩余变形和应力的过程和确定其他各瞬间的过程一样。在完全冷却时，温度分布曲线和热变形曲线在板条全宽度上的纵坐标将等于零，亦即曲线 T 和曲线 λ 重合。
各窄板条的热变形并考虑到各窄板条在冷却过程中得到的塑性变形以曲线
表示，其纵坐标按式（2-10）计算
因为
λ
y
=0。此时
如前面所指出的一样，是整个冷却过程中所得到的塑性压缩变形及塑性拉伸变形的总和。
因为确定塑性压缩变形及塑性拉伸变形的总和需要多次分析冷却过程中连续的瞬间，所以只局限于分析各窄板条在达到600℃时发生的最大塑性压缩变形值，而不必研究塑性压缩变形及塑性拉伸变形的总和。
于是，曲线的纵坐标
具有如图2-2c所示的形式。各窄板条的实际变形决定于直线
Δ
′，直线
Δ
′的位置可利用类似式（2-4）确定。
从图2-2c中还可以看出，各窄板条除了塑性压缩变形（-
ε
∏
）外，还存在塑性拉伸变形（
），于是，如果假定这一窄板条不受其他窄板条的约束而独立变形，则窄板条的缩短值不是（
），而是
。
但必须注意，塑性拉伸变形不是在最后一瞬间才发生的，而是在整个冷却过程中逐渐积累的。
两块同样宽度的自由板材在对接焊时，在焊缝内产生残余应力，纵向应力、横向应力沿焊缝长度上的分布如图2-3所示。在有限平板内纵向应力沿焊缝中心线的分布如图2-3a所示。横向应力主要取决于焊缝的焊接方法，它们沿板材宽度的分布是这样的，即应力在焊缝中心线处达到最大值，而随着远离焊缝而急骤地减小。如果应力没有超过屈服极限，则应力图具有如图2-3b上图所示的形式；发生有塑性变形时具有如图2-3b所示的形式。根据由弯曲所引起变形加上由焊缝宽度改变所决定的变形，可更正确地确定应力分布图。在很宽的板材焊接时，弯曲的影响可以略去，在焊缝内的应力只决定于焊接过程中焊缝宽度的改变。
在假定每一区段沿焊缝长度上的缩短均相等的条件下，佛利德连杰尔求出了焊缝各区段由于不同时焊接而发生的应力，模型如图2-4所示。如果把最先焊成的一部分焊缝看作是承受长d
x
的焊缝单元区段收缩所引起的偏心压力单元体，则可得到在距焊缝起点距离
z
处截面内的应力
为：
图2-3 对接板焊缝残余应力分布
图2-4 横向应力沿焊缝长度分布
式中 p ——在截面 x 内焊缝收缩所产生的应力（MPa）。
从
z
到
L
在焊缝全长度内的总应力
为：
如果在应力
加上原有的拉应力
σ″
=
tp
，则总的应力为：
横向应力 σ z 沿焊缝长度的分布如图2-4b所示。在前面的计算中，假定在焊缝内只发生弹性变形，但实际上也发生塑性变形，塑性变形使焊缝内最后的横向应力发生变化。
应注意，由于焊缝宽度改变所产生的横向应力与所焊板材弯曲所产生的横向应力的分布相反。在板材较窄时，这两种应力均将起作用，这些应力的总和所得出的图形主要决定于所焊板材的尺寸。