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1.学习进制和计算。
2.掌握“除以2取余，逆序排列”的方法。
3.掌握十进制数与二进制数之间的转换方法。
小明正在房间里写作业，艾罗走进小明的房间，问道：“今天都学了什么啊？”
小明：“今天在数学课上，我们学习了认识钟表和时间换算的方法。”
艾罗：“哦？那我来考考你，你知道1小时等于多少秒吗？”
小明：“这还不简单，当然是3600秒了。”
艾罗：“不错，那你知道时间的转换是多少进制的吗？”
小明：“是六十进制。”
艾罗：“你还知道其他进制吗？”
小明：“不知道了，你快告诉我吧。”
艾罗：“生活中，常用的是十进制。比如，我们在数数的时候，一般都会从1数到9，进位是10。计算机中使用的是二进制，用0和1两个数字来表示。”
小明：“原来还有这么多不同的进制啊。那怎么用不同进制表示同一个数呢？”
艾罗：“这个问题问得好，不同进制之间可以相互转换，下面我们就来学习。”
很早以前，我国就已经用十进制来记录数字了。在《数述记遗》和《孙子算经》中就记载了十进制计数的方法。
进位制是一种计数方法，也称进位计数法，可以用有限的数字符号代表所有的数值。可作为数字符号使用的数称为基数或底数，若基数为n，即可称为n进位制，简称n进制。最常用的是十进制，通常使用阿拉伯数字0～9进行计数。
对于任何一个数，我们都可以用不同的进制来表示。比如：十进制数57，可以表示为二进制数（111001） 2 或五进制数（212） 5 或八进制数（71） 8 ，也可以用十六进制数（39） 16 来表示，它们所代表的数值都是一样的。在生活中，不同进制都会有所体现，比如7天为1周，这就是典型的七进制；1min等于60s，这就是六十进制。
在计算机领域，二进制是一种常用的进制方法。二进制主要有两个特点：它由两个数字0和1组成，二进制数的运算规律是逢2进1。在数学和数字电路中，二进制是指以2为基数的计数系统。在这一系统中，通常用两个不同的符号0和1来表示。在数字电路中，0和1分别可以表示电路的断和通，也就是没有电和有电两种状态。逻辑门的实现直接应用了二进制，因此现代计算机和依赖计算机的设备都使用二进制。
二进制数采用位置计数法，位权是以2为底的幂。二进制数一般写为：（ a n -1 a n -2 … a 1 a 0 . a -1 … a -m ） 2 。
例如，二进制数（110.11） 2 的权的大小顺序为2 2 、2 1 、2 0 、2 -1 、2 -2 。对于有 n 位整数、 m 位小数的二进制数，用加权系数展开式可表示为：
( a n -1 a n-2 … a 1 a 0 . a -1 … a -m ) 2 =a n -1 ×2 n -1 + a n -2 ×2 n -2 +…+ a 1 ×2 1 + a 0 ×2 0 + a -1 ×2 -1 + a -2 ×2 -2 +…+a -m ×2 -m
二进制的加法运算有4种情况：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10（0进位为1）。二进制的乘法运算有4种情况：0×0=0，1×0=0，0×1=0，1×1=1。二进制的减法运算有4种情况：0-0=0，1-0=1，1-1=0，0-1=1。二进制的除法运算有两种情况（除数只能为1）：0÷1=0，1÷1=1。
十进制整数转换为二进制整数采用“除以2取余，逆序排列”的方法。具体做法是：用2除该十进制整数，可以得到一个商和余数，再用2除得到的商，又会得到一个商和余数……如此进行，直至商等于0为止。然后将先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，并将其依次排列起来。
任务1：将二进制数（111.01） 2 写成加权系数的形式。
根据加权系数展开式，二进制数（111.01） 2 可表示为以下形式。
(111.01) 2 =(1×2 2 )+(1×2 1 )+(1×2 0 )+(0×2 -1 )+(1×2 -2 )
任务2：将二进制数（1001） 2 和（0101） 2 的算术运算表示出来。
根据二进制数的加、减、乘、除运算法则，二进制数（10 01） 2 和（0101） 2 的算术运算如图1-1所示。
图1-1 两个二进制数的算术运算
任务3：将十进制数125转换为二进制数。
根据“除以2取余，逆序排列”方法，将十进制数125转换为二进制数的过程如图1-2所示。
图1-2 十进制数125转换为二进制数的过程
因此，所得二进制数为：1111101。
在人们自发采用的进位制中，十进制是使用最普遍的一种。某种意义上说，成语“屈指可数”就描述了一个简单计数的场景，而人类在需要计数的时候，首先想到的就是利用手指进行计数。
数值本身是数学上一个抽象的概念。经过长期的演化、融合、选择和淘汰，系统简便、功能全面的十进制计数法就成了一种主流的计数方法。我们从小就学习十进制计数法，例如，盘中放了10个苹果，通过数苹果，我们可以抽象出“10”这一数值，它在我们脑海中以“10”这个十进制编码的形式进行存放和显示，而不是其他形式。从这一角度来说，十进制编码几乎就是数值本身。
在数制中，各位数字所表示值的大小不仅与该数字本身的大小有关，还与该数字所在的位置有关，我们将其称为数的位权。十进制数的位权是以10为底的幂，二进制数的位权是以2为底的幂，十六进制数的位权是以16为底的幂。数位由高向低，以降幂的方式排列。
1.将十进制数10、12、14、16、18、20、22转换为二进制数后分别是多少？
2.判断下列说法是否正确，正确的在括号中画“√”，错误的在括号中画“×”。
（1）十进制数15可以用二进制数（1111） 2 来表示。（ ）
（2）十进制数28可以用二进制数（11000） 2 来表示。（ ）
