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我 ：“话说回来，你知道这个判别法怎么证明吗？”
由梨 ：“知道什么？”
我 ：“‘各位数相加，是不是 3 的倍数’是相当知名的判别法，但为什么这样可以判别数是否为 3 的倍数呢？你知道原因吗？”
由梨 ：“咦……”
由梨玩弄着发梢，一脸困扰。
我 ：“‘计算各位数相加是不是 3 的倍数’是 3 的倍数判别法，它的数学证明，初中生也办得到。”
由梨 ：“证明？”
我 ：“数学证明指利用题目所给的条件，有条理地叙述某个数学主张。”
由梨 ：“这样啊！”
我 ：“‘大概是这样’或‘根据经验，应该是这样’无法说服人，必须‘有所根据，保证主张绝对成立’。”
由梨 ：“哦！有所根据，保证主张绝对成立。数学证明好像很对我的胃口哦！”
我 ：“你一定会喜欢。”
由梨很喜欢“瞬间了解”的感觉。
由梨 ：“怎么证明呢？”
我 ：“我们先把要证明的数的范围缩小到 1000 以下吧。”
要证明的事项
设
为整数，且
（
=0、1、2……998、999）。
设
为
的“各位数总和”，则有以下规则成立：
① 若
是 3 的倍数，则
是 3 的倍数；
② 若
不是 3 的倍数，则
不是 3 的倍数。
由梨 ：“哦。”
我 ：“你的反应好冷淡，这就是数学证明啊！”
由梨
：“我不懂呢，哥哥，为什么一定要弄得这么复杂呢？写一堆
和
……”
我
：“为了精准地叙述问题，必须用
和
这种符号。如果用‘原本的数’或‘一开始的数’这种文字去叙述，难以辨别你所指的是哪个数。”
由梨 ：“可以用 123 这种数来练习吗？”
我 ：“当然可以，以具体的例子练习与思考相当重要。”
由梨
：“先加起来吧，
，6 是 3 的倍数。接着，把 123 除以 3……呃……嗯，
，刚好整除，所以 123 是 3 的倍数。OK，成功！”
我 ：“嗯，你刚才以具体的数 123，来确认‘要证明的事项’的规则 ①。”
由梨 ：“是啊！”
我 ：“举例是理解的试金石，以具体的数来确认要证明的事项，代表你已经明白要证明的事项是什么了。”
由梨 ：“嘿嘿。”
我 ：“不过……”
由梨 ：“嗯？”
我 ：“接下来，你必须更上一层楼，证明更一般化的情形。”
由梨 ：“一般化的情形？”
我 ：“没错，刚才你以具体的数 123，确认规则 ① 为真，但是我们不可能确认 0 到 999 的所有数吧？”
由梨 ：“会吗？124、567、999 的计算都很简单吧？”
我 ：“好吧，是我说得不够精确。计算 0 到 999 的每个数，并不是不可能，但会相当费时费力。”
由梨 ：“对，好麻烦。”
我 ：“每个数都验证会很浪费时间，这种情形在数学上用符号来表示。”
由梨 ：“符号？”
我
：“没错，即‘用符号表示一般化’，用符号
、
、
表示
，如下所示。”
用符号来表示
设
为整数，且
。用
、
、
表示
，如下：
其中，
、
、
为 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 中任意一个数。
由梨 ：“算式狂热者出现了！”
我
：“这种程度还不算狂热。你能用乘法符号‘×’，表示
吗？”
由梨 ：“可以啊，是这样吧？”
我
：“没错，‘100 倍的
加 10 倍的
，再加
’。”
由梨
：“咦？
是什么意思？”
我
：“问得好，由梨。在这里，
代表百位数，
代表十位数，
代表个位数。”
由梨 ：“为什么？”
我 ：“咦，为什么啊？”