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上一节介绍了几个常用的联结词及其组成的基本复合命题表达式
、
p
→
q
、
p
↔
q
等，其中
p
、
q
可以代表特定的命题，也可以代表任意的命题。当
p
、
q
代表特定的命题时，真值是确定的，称为
命题常量（常项）
。当
p
、
q
代表任意的命题时，称为
命题变元（变项）
。由代表命题常量或命题变元的字母、联结词、括号等组成的符号串称为命题公式，但不是由这些符号任意组成的符号串都是命题公式。下面给出命题公式的定义。
定义1.2.1
1）每一个命题常量或命题变元都是命题公式。
2）如果
A
是命题公式，则
是命题公式。
3）如果 A 和 B 都是命题公式，则（ A ∧ B ）、（ A ∨ B ）、（ A → B ）、（ A ↔ B ）都是命题公式。
4）一个由命题常量或命题变元、联结词和括号所组成的符号串是命题公式，当且仅当这个符号串是有限次应用上面的步骤得到的。
命题公式可以简称为公式。根据定义，
、
p
→（
q
→
r
）、（
p
∧
q
）↔
r
等都是命题公式。为了书写方便，一般
的括号及整个公式最外层的括号可以省略，例如，
可写成
。
一个含有命题变元的命题公式的真值是不确定的。只有当公式中的所有命题变元代表特定的命题时，命题公式才成为命题，其真值才唯一确定。例如，命题公式 p ∧ q 中，若指定 p 为“2是素数”， q 为“3是奇数”，也就是 p 的真值为真， q 的真值为真，则 p ∧ q 为真命题；若指定 p 为“2是素数”， q 为“3是偶数”，则 p ∧ q 为假命题，因为 p 的真值为真，而 q 的真值为假。对命题公式的各个命题变元指定一个特定的命题，实际上就是对命题公式的解释或赋值，定义如下。
定义1.2.2 若命题公式 A 含有的全部命题变元为 p 1 , p 2 ,…, p n ，给 p 1 , p 2 ,…, p n 指定一组真值，称为对 A 的一个 解释 或 赋值 。使 A 的真值为真的赋值称为 成真赋值 ，使 A 的真值为假的赋值称为 成假赋值 。通常赋值与命题变元之间按下标或字母顺序对应，即当 A 的全部命题变元为 p 1 , p 2 ,…, p n 时，给 A 赋值 α 1 , α 2 ,…， α n ，是指 p 1 = α 1 , p 2 = α 2 ,…, p n = α n ；当 A 的全部命题变元为 p , q , r ,…时，给 A 赋值 α 1 , α 2 , α 3 ,…是指 p = α 1 , q = α 2 , r = α 3 ,…。
例如，公式
A
为
，
p
=0、
q
=1、
r
=0是对
A
的一个赋值，这时
A
的真值为1；
p
=1、
q
=1、
r
=0是对
A
的又一个赋值，这时
A
的真值为0。也就是010是公式
A
的一个成真赋值，而110是公式
A
的一个成假赋值。
含
n
（
n
≥1）个命题变元的命题公式，共有2
n
个不同的赋值。将命题公式在所有赋值下的真值列成一个表，称为该命题公式的真值表。命题公式有
n
个命题变元，它的真值表有2
n
行。
n
个命题变元的不同的真值表有
个。
例1.2.1 写出下列公式的真值表。
1）
2）
3）
解
1）
有3个变元，真值表有8行，见表1.2.1。
表1.2.1 公式1）的真值表
在写出命题公式
的真值表时，按联结词的优先级次序，首先计算在各种赋值下
的真值，然后计算
的赋值，最后算出
的真值。
2）同理可以写出
的真值表，见表1.2.2。
表1.2.2 公式2）的真值表
3）
的真值表见表1.2.3。
表1.2.3 公式3）的真值表
在表1.2.1中有些赋值使命题公式为真，有些赋值使命题公式为假。而在表1.2.2中，所有赋值均使命题公式的真值为1，在表1.2.3中，所有赋值均使命题公式的真值为0。
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按照命题公式在各种赋值下的取值情况，可将命题公式分类如下。
定义1.2.3 设 A 为一个命题公式。
1）若 A 在它的各种赋值下取值均为1，则称 A 为 重言式 或 永真式 。
2）若 A 在它的各种赋值下取值均为0，则称 A 为 矛盾式 或 永假式 。
3）若至少存在一种赋值使 A 的真值为1，则称 A 为 可满足式 。
这三类公式之间有下面的关系。
1）公式
A
永真，则
永假，反之亦然。
2）公式
A
是可满足的，当且仅当
不是永真式。
3）公式 A 不是可满足的，则一定是永假式。
4）公式 A 不是永假式，则一定是可满足的。
判断一个命题公式的类型（即永真式、永假式、可满足式）可通过构造命题公式的真值表来实现，如例1.2.1中的公式1）存在为真的赋值，也存在为假的赋值，是可满足式，公式2）的所有赋值都使公式的真值为1，是永真式，公式3）的所有赋值都使公式的真值为0，是永假式。