习题

1.列出下列集合的元素。

（1）{ x | x 是小于5的非负整数}

（2）{ x | x 是大于0的偶数}

（3）{ x |（ x 是整数）∧（2< x <10）}

（4）{ x | x ∈ℕ∧∃ t （ t ∈{2，3}∧ x =2 t ）}

（5）{ x | x ∈ℝ∧ x ² -1=0∧ x ＞3}

2.判断下列集合是否相等。

（1）{1，2，1，3，1，2}，{2，3，1}

（2）{{1}}，{1，{1}}

（3）∅，{∅}

3.假定 A 、 B 和 C 是集合，若 A ⊆ B 且 B ⊆ C ，证明 A ⊆ C 。

4.判定下列各题的正误。

（1） a ∈{{ a }}

（2）{ a }⊆{ a ， b ， c }

（3）∅∈{∅}

（4）∅⊆{ a ， b ， c }

（5）∅∈∅

（6）∅⊆∅

（7）{{ a }，1，3，4}⊂{{ a }，3，4，1}

（8）{ a ， b }⊆{ a ， b ， c ，{ a ， b }}

（9）{ a ， b }∈{ a ， b ，{ a ， b }}

（10）{ a ， b }∈{ a ， b ，{{ a ， b }}}

5.设 E ={ a ， b ， c ， d ， e }， A ={ a ， d }， B ={ a ， b ， e }和 C ={ b ， d }。试求出下列集合：

（1） A ∩~ B

（2）（ A ∪ B ）∩~ C

（3）~（ A ∩ B ）

（4）（ A ∪ C ） -B

（5） A ⊕ B ⊕ C

6.给定自然数集合 ℕ的下列子集：

A ={1，2，7，8}

B ={ i | i × i 50}

C ={ i | i 可被3整除且0≤ i ≤30}

D ={ i | i =2 k ， k ∈ℤ，0＜ k ＜6}

试求出下列集合：

（1） A ∪（ B ∪（ C ∪ D ））

（2） A ∩（ B ∩（ C ∩ D ））

（3） B -（ A ∪ C ）

（4）（～ A ∩ B ）∪ D

（5） A ⊕ B

7.给定正整数集合 ℤ ⁺ 的下列子集：

A ={ n | n <12}

B ={ n | n ≤8}

C ={ n | n =2 k ， k ∈ℤ ⁺ }

D ={ n | n =3 k ， k ∈ℤ ⁺ }

F ={ n | n =2 k -1， k ∈ℤ ⁺ }

试用集合 A 、 B 、 C 、 D 和 F 表达下列集合：

（1）{2，4，6，8}

（2）{3，6，9}

（3）{10}

（4）{ n | n 是偶数， n >10}

（5）{ n | n 是正偶数且 n ≤10，或 n 是正奇数且 n ≥9}

8.设 A 、 B 和 C 是全集 E 的子集，下列关系是否成立？

（ A ∪ B ）∩～（ B ∪ C ）⊆ A ∩～ B

9.设 A 、 B 是全集 E 的子集，证明下列恒等式：

（1）（ A ∩ B ）∪（ A ∩～ B ）= A

（2） B ∪～（（～ A ∪ B ）∩ A ）= E

（3）（ A ∪～ B ）∩（～ A ∪ B ）=（ A ∩ B ）∪（～ A ∩～ B ）

10.求下列集合的幂集：

（1）{ a ， b ， c }

（2）{1，{2，3}}

（3）{{1，{2，3}}}

（4）{∅，{∅}}

（5）{{1，2}{2，1，1}，{2，1，1，2}}

11.分别用空集∅构成集合 A 和 B ，使得 A ∈ B 和 A ⊆ B 。

12.设 A 、 B 是两个集合， A ={1，2，3}， B ={1，2}，请计算 P （ A ） -P （ B ）。

13.化简下列集合表达式：

（1）（（ A ∪ B ）∩ B ）-（ A ∪ B ）

（2）（ A ∩ B ）∪（ A-B ）

（3）（（ A ∪ B ∪ C ）-（ B ∪ C ））∪ A

（4）（ A ∩ B ∩ C ）∪（～ A ∩ B ∩ C ）∪（ A ∩ B ∩～ C ）

14.设 A 、 B 、 C 、 D 是任意集合，判断下列命题的真假。如果为真，给出证明；如果为假，请举出一个反例。

（1） A ⊂ B ∧ B ⊆ C ⇒ A ⊂ C

（2） A ≠ B ∧ B ≠ C ⇒ A ≠ C

（3） A ⊆ B ∧ C ⊆ D ⇒ A ∪ C ⊆ B ∪ D

（4） A ⊂ B ∧ C ⊂ D ⇒ A ∪ C ⊂ B ∪ D

（5） A ∈ B ∧ B ⊄ C ⇒ A ∉ C

15.设 A 、 B 是任意集合，证明

（1）（ A-B ）∪（ B-A ）=（ A ∪ B ）-（ A ∩ B ）

（2） A ∩（ B ∪～ A ）= B ∩ A

16.设 A 、 B 、 C 是任意集合，证明 C ⊆ A ∧ C ⊆ B ⇔ C ⊆ A ∩ B 。

17.设 A 、 B 是任意集合，证明

（1） P ( A )∩ P ( B )= P ( A ∩ B )

（2） P （ A ）∪ P （ B ）⊆ P （ A ∪ B ）

（3） P （ A-B ）⊆ P （ A ） -P （ B ）∪{∅}

18.证明任何自然数都不是自己的元素。 vv0BhwW/z/GOj9Q20gbL7WuwF65yB46zqMEML9jj0T8o3QP6bq9s5BQrgvb9cX2M