3.5 集合的特征函数

定义3.5.1 设 E 是全集，集合 A 是 E 的子集，定义集合 A 的特征函数为

根据特征函数的定义，若集合 E 为包含 n 个元素的有限集，则可用一个长为 n 的0-1串表示集合 A 。

例3.5.1 设 E ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}、集合 A ={1，2，3，4，5}、集合 B ={2，4，6，8，10}，利用特征函数表示集合 A 和 B 。

解 集合 A 的元素是1～5的整数，6～10的整数不属于集合 A ，用特征函数表示集合 A 为1111100000；集合 B 的元素是大于1且小于等于10的偶数，用特征函数表示集合 B 为0101010101。

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用长为 n 的0-1串表示集合便于计算集合的交集、并集、补集和差集，是计算机中表示集合的方法之一。计算集合的补集就是对表示该集合的0-1符号串的每一位取反，即把0改为1、1改为0。要计算两个集合的交集和并集，可以对表示集合的0-1符号串按位做布尔运算。只要两个符号串的第 i 位有一个是1，则并集的符号串的第 i 位是1，当两个符号串的位都是0时才是0。因此，并集的符号串由两个集合的符号串按位进行或运算求得。只有两个符号串的第 i 位都是1，交集的符号串的第 i 位才是1，否则是0。因此，交集的符号串由两个集合的符号串按位进行交运算求得。

例3.5.2 设 E ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}、集合 A ={1，2，3，4，5}、集合 B ={2，4，6，8，10}，计算～ A 、 A ∪ B 、 A ∩ B 、 A-B 。

解 根据例3.5.1，集合 A 可表示为1111100000，集合 B 可表示为0101010101。

因此，把1111100000的每一位取反得0000011111，即～ A ={6，7，8，9，10}。

A ∪ B 的0-1串表示为1111100000∨0101010101=1111110101，即 A ∪ B ={1，2，3，4，5，6，8，10}。

A ∩ B 的0-1串表示为1111100000∧0101010101=0101000000，即 A ∩ B ={2，4}。

A-B = A ∩～ B ，～ B 的0-1串表示为1010101010， A ∩～ B 的0-1串表示为

1111100000∧1010101010=1010100000

所以， A-B = A ∩～ B ={1，3，5}。

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