3.4 自然数

自然数集合包含无限多元素，用空集和后继集可以把所有自然数定义为集合。

定义3.4.1 设 A 是一集合， A 的 后继集 A ⁺ 为

A ⁺ = A ∪{ A }

例3.4.1 已知集合 A ={1，2，3}，求 A 的后继集 A ⁺ 。

解 A 的后继集 A ⁺ = A ∪{ A }

={1，2，3}∪{{1，2，3}}

={1，2，3，{1，2，3}}

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例3.4.2 对于空集∅，求：1）∅ ⁺ ；2）（∅ ⁺ ） ⁺ ；3）（（∅ ⁺ ） ⁺ ） ⁺ 。

解 1）∅ ⁺ =∅∪{∅}={∅}

2）（∅ ⁺ ） ⁺ ={∅} ⁺ ={∅}∪{{∅}}={∅，{∅}}

3）（（∅ ⁺ ） ⁺ ） ⁺ ={∅，{∅}} ⁺ ={∅，{∅}}∪{{∅，{∅}}}={∅，{∅}，{∅，{∅}}}

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显然，若集合 A 有 n 个元素，则 A 的后继集 A ⁺ 有 n +1个元素。

对于例3.4.2还可以构造越来越多的后继集，给这些集合命名如下。

因此有1=0 ⁺ ，2=1 ⁺ ，3=2 ⁺ ，…，以这些集合为元素构成的集合{0，1，2，3，…}是自然数集合。

定义3.4.2 用空集和后继集 n ⁺ （紧跟在 n 后面的自然数）可以把所有自然数定义为集合，即

0=∅

n ⁺ = n ∪{ n }，∀ n ∈ℕ

由此可见，任一个自然数都是一个集合的名称。在日常生活中，用来判断一个集合中元素个数的办法是数出集合中元素的个数，实际上是在这个集合和某个自然数所表示的集合之间建立一一对应关系。

据此，我们还给出自然数集 ℕ的归纳定义。

定义3.4.3 自然数集 ℕ可以用如下的递归方式定义：

1）∅∈ℕ

2）如果 n ∈ℕ，则 n ⁺ = n ∪{ n }，也满足 n ∈ℕ

3）如果 S ⊆ℕ且 S 满足条件1）和2），则 S =ℕ

上述定义中，1）给出了自然数集的首个元素，2）给出了归纳条件，3）则规定了 ℕ的封闭性和极小性，即 ℕ是同时满足条件1）和2）的最小集合。

基于上述自然数集 ℕ的定义，可得到证明与自然数 n 有关的命题 P （ n ）的一个重要证明方法，即数学归纳法。这里仅介绍基本的数学归纳法，又称为 第一数学归纳法 。

定义3.4.4 设 P （ n ）（ n ∈ℕ）是论域在自然数集上的性质（或谓词），若能证明

1） P （0）为真

2）对任何 n ∈ℕ， P （ n ）⇒ P （ n ⁺ ）

则对所有 n ∈ℕ， P （ n ）为真。

这种证明方法称为第一数学归纳法。这里，1）称为归纳基，是归纳法的基础条件；2）称为归纳步，一般假定若 n = k 时， P （ k ）成立，要证明 P （ k ⁺ ）也成立。上述方法可形式化表达为

P （0）∧∀ n （ P （ n ）→ P （ n ⁺ ））⇒∀ n （ P （ n ））

数学归纳法在论域为自然数集的相关定理证明中起到了重要的作用。

例3.4.3 证明空集属于除0以外的一切自然数。

证明 采用数学归纳法

1） n =0时，∅∉0，上述命题成立。

2）假设当 n = k 时上述命题成立，即∅∈ k ，则：

• 当 k =0时， k ⁺ =∅∪{ k }={∅}，故∅∈ k ⁺ 成立；

• 当 k ≠0时，由于 k ⁺ = k ∪{ k }且∅∈ k ，故∅∈ k ⁺ 也成立。

综上可得∅属于除0以外的一切自然数。

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