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集合可以通过各种运算形成新的集合。
定义3.3.1 设 A 、 B 为集合，由 A 和 B 的所有元素组成的集合称为 A 与 B 的 并集 ，可符号化表示为
A ∪ B ={ x | x ∈ A ∨ x ∈ B }
用文氏图表示集合 A 与 B 的并集，如图3.3.1所示。
例3.3.1 设 A ={1，2，3}、 B ={2，4，6}，则 A ∪ B ={1，2，3，4，6}。
显然， E ∪ A = E ，∅∪ A = A 。
n 个集合 A 1 ， A 2 ，…， A n 的并集为
定义3.3.2 设 A 、 B 为集合，由同时属于集合 A 和集合 B 的元素组成的集合称为集合 A 与集合 B 的 交集 ，可符号化表示为
A ∩ B ={ x | x ∈ A ∧ x ∈ B }
用文氏图表示集合 A 与 B 的交集，如图3.3.2所示。
图3.3.1 用文氏图表示集合 A 与 B 的并集
图3.3.2 用文氏图表示集合 A 与 B 的交集
例3.3.2 设 A ={1，2，3，4}、 B ={2，4，6}，则 A ∩ B ={2，4}。
显然， E ∩ A = A ，∅∩ A =∅。
n 个集合 A 1 ， A 2 ，…， A n 的交集为
当两个集合的交集是空集时，称它们是 不交 的。如图3.3.3所示的文氏图表示集合 B 和 C 是不交的。
图3.3.3 用文氏图表示集合 B 与 C 不交
在例3.3.2中， A ∪ B ={1，2，3，4，6}， A ∪ B 的元素个数| A ∪ B |=5，而| A |=4，| B |=3，| A ∪ B |≠| A |+| B |，因为元素2和4既属于集合 A ，又属于集合 B ，在| A |和| B |中都计数了2和4，| A |+| B |中包含了对2和4的重复计数，所以在计算 A ∪ B 的元素个数时要减去对2和4的重复计数，即| A ∪ B |=| A |+| B |--| A ∩ B |。
关于有限集合元素的计数有下面的公式。
设 A 1 ， A 2 ，…， A m 为有限集合，其元素个数分别为| A 1 |，| A 2 |，…，| A m |，则
证明见第5章。
定理3.3.1 设 A 、 B 为集合，则下列交换律成立。
1） A ∪ B = B ∪ A
2） A ∩ B = B ∩ A
定理3.3.1显然成立，也就是集合的并运算和交运算满足交换律。
定理3.3.2 设 A 、 B 、 C 为任意三个集合，则下列结合律成立。
1）（ A ∪ B ）∪ C = A ∪（ B ∪ C ）
2）（ A ∩ B ）∩ C = A ∩（ B ∩ C ）
证明 1）设∀ x ∈（ A ∪ B ）∪ C ，根据并运算的定义可知 x ∈（ A ∪ B ）或 x ∈ C ，由 x ∈（ A ∪ B ）可知 x ∈ A 或 x ∈ B 。因此有 x ∈ A 或 x ∈ B 或 x ∈ C ，即 x ∈ A 或 x ∈ B ∪ C ，从而有 x ∈ A ∪（ B ∪ C ），所以
（ A ∪ B ）∪ C ⊆ A ∪（ B ∪ C ）
同理可证， A ∪（ B ∪ C ）⊆（ A ∪ B ）∪ C 。
所以（ A ∪ B ）∪ C = A ∪（ B ∪ C ）成立，即集合的并运算满足结合律。
2）可以用逻辑等价的方法证明这个等式。设
∀ x ∈（ A ∩ B ）∩ C
⇔ x ∈（ A ∩ B ）∧ x ∈ C
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∈ C
⇔ x ∈ A ∧ x ∈（ B ∩ C ）
⇔ x ∈ A ∩（ B ∩ C ）
所以（ A ∩ B ）∩ C = A ∩（ B ∩ C ）成立。
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定理3.3.3 设 A 、 B 、 C 为任意三个集合，则下列分配律成立。
1） A ∪（ B ∩ C ）=（ A ∪ B ）∩（ A ∪ C ）
2） A ∩（ B ∪ C ）=（ A ∩ B ）∪（ A ∩ C ）
证明 用逻辑等价的方法证明。
1）设
∀ x ∈ A ∪（ B ∩ C ）
⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B ∩ C
⇔ x ∈ A ∨（ x ∈ B ∧ x ∈ C ）
⇔（ x ∈ A ∨ x ∈ B ）∧（ x ∈ A ∨ x ∈ C ）
⇔ x ∈ A ∪ B ∧ x ∈ A ∪ C
⇔ x ∈（ A ∪ B ）∩（ A ∪ C ）
所以 A ∪（ B ∩ C ）=（ A ∪ B ）∩（ A ∪ C ）成立。
2）证明同1）。
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用逻辑等价的方法证明集合等式时，先用谓词公式描述集合元素的特征，然后用命题演算方法证明集合等式。
定理3.3.4 设 A 、 B 为任意两个集合，则下列吸收律成立。
1） A ∪（ A ∩ B ）= A
2） A ∩（ A ∪ B ）= A
证明 集合等式的证明还可以利用一些集合恒等式来求证。
1） A ∪（ A ∩ B ）
=（ A ∩ E ）∪（ A ∩ B ）
= A ∩（ E ∪ B ）
= A ∩ E
= A
2） A ∩（ A ∪ B ）
=（ A ∪∅）∩（ A ∪ B ）
= A ∪（∅∩ B ）
= A ∪∅
= A
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定义3.3.3 设 A 、 B 为任意两个集合，由属于 A 但不属于 B 的元素构成的集合称为 A 和 B 的 差 ，又称为集合 B 对于 A 的 补集 或 相对补集 ，记为 A-B 。可符号化表示为
A-B ={ x | x ∈ A ∧ x ∉ B }
用文氏图表示如图3.3.4所示。
例3.3.3 设集合 A ={1，2，3，4，5}、 B ={2，4，6}，则 A-A =∅， A-B ={1，3，5}， B-A ={6}。
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定义3.3.4 设 E 为全集， A ⊆ E ，则称 E 和 A 的差集为 A 的 补集 或 绝对补集 ，记作～ A ，可符号化表示为
～ A = E-A ={ x | x ∈ E ∧ x ∉ A }
用文氏图表示如图3.3.5所示。
图3.3.4 用文氏图表示 A-B
图3.3.5 用文氏图表示～ A
对补集有下述性质成立。
1）～ E =∅
2）～∅= E
3）～（～ A ）= A
4） A ∩～ A =∅
5） A ∪～ A = E
定理3.3.5 设 A 、 B 为任意两个集合，则有
1）～（ A ∩ B ）=～ A ∪～ B
2）～（ A ∪ B ）=～ A ∩～ B
称该定理为 德·摩根律 。
证明 设 E 为全集，显然有 A ∩ E = A ， A ∪ E = E 成立。
2）证明同1）。
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这个定理的证明通过用描述法表示集合，对集合中描述集合元素特征的谓词公式进行等价变换，从而证明集合等式。
定义3.3.5 设 A 、 B 为集合，由属于 A 而不属于 B 的所有元素和属于 B 而不属于 A 的所有元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的 对称差 ，记为 A ⊕ B 。可符号化表示为
A ⊕ B ={ x |（ x ∈ A ∧ x ∉ B ）∨（ x ∈ B ∧ x ∉ A ）}
根据定义3.3.5，集合 A 与 B 的对称差还可表示为
A ⊕ B =（ A-B ）∪（ B-A ）
用文氏图表示如图3.3.6所示。
图3.3.6 用文氏图表示 A ⊕ B
例3.3.4 设集合 A ={1，2，3，4，5}、 B ={2，4，6}，则 A ⊕ B ={1，3，5，6}。
对称差运算满足如下性质：
1） A ⊕ A =∅
2） A ⊕∅= A
定理3.3.6 设 A 、 B 、 C 为任意三个集合，则有
1） A ⊕ B = B ⊕ A
2）（ A ⊕ B ）⊕ C = A ⊕（ B ⊕ C ）
证明 留作读者练习。
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表3.3.1列出了集合运算的重要恒等式。
表3.3.1 集合运算的重要恒等式
比较这里的集合恒等式和第1章的命题等价式，不难看出，集合运算的规律和命题运算的某些规律是一致的，所以命题演算的方法是证明集合等式的基本方法。
例3.3.5 证明 A -（ B ∪ C ）=（ A-B ）∩（ A-C ）。
证明 对任意 x ，有
所以 A -（ B ∪ C ）=（ A-B ）∩（ A-C ）。
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例3.3.6 证明 A ⊆ B 当且仅当（ A ∪ B ）= B 或（ A ∩ B ）= A 。
证明 首先证明当（ A ∪ B ）= B 或（ A ∩ B ）= A 时， A ⊆ B 。
对任一 x ∈ A ，有 x ∈ A ∪ B ，当（ A ∪ B ）= B 时，则有 x ∈ B ；当（ A ∩ B ）= A 时，有 x ∈ A ∩ B ，从而 x ∈ B 。因而 A ⊆ B 。
其次证明若 A ⊆ B 则有（ A ∪ B ）= B 或（ A ∩ B ）= A 。
对任一 x ∈ A ∪ B ，有 x ∈ A 或 x ∈ B 。若 x ∈ A ，因为 A ⊆ B ，则 x ∈ B ，所以对任一 x ∈ A ∪ B 均有 x ∈ B 。因而 A ∪ B ⊆ B 。又因为 B ⊆ A ∪ B ，所以（ A ∪ B ）= B 。
对任一 x ∈ A ，若 A ⊆ B ，则有 x ∈ B ，因而有 x ∈ A ∩ B 。所以 A ⊆ A ∩ B 。又因为 A ∩ B ⊆ A ，所以（ A ∩ B ）= A 。
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