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定义3.2.1 设 A 、 B 为集合，当且仅当它们恰有完全相同的元素时，称 A 与 B 相等 ，记作 A = B 。符号化表示为
A = B ⇔∀ x （ x ∈ A ↔ x ∈ B ）
例如，集合 A ={ x | x ∈ Z ∧3＜ x ≤6}， B ={4，5，6}，则 A = B 。
定义3.2.2 设 A 、 B 为两个集合，如果 B 中的每个元素都是 A 中的元素，则称 B 为 A 的子集合，简称 子集 。这时也称 B 被 A 包含 或 A 包含 B ，记作 B ⊆ A 或 A ⊇ B 。符号化表示为
B ⊆ A ⇔∀ x （ x ∈ B → x ∈ A ）
如果 B 不被 A 包含，则记作 B ⊄ A 。
例如，集合 A ={0，1，2}， B ={0，1}， C ={1，2}，则有 B ⊆ A ， C ⊆ A ，但 C ⊄ B ，因为存在2，2∈ C 但2∉ B ，因此 C ⊄ B 。
定义3.2.3 设 A 、 B 为集合，如果 B ⊆ A 且 B ≠ A （即集合 B 的每一个元素都属于 A ，但集合 A 中至少有一个元素不属于 B ），则称 B 是 A 的 真子集 。这时也称 B 被 A 真包含 ，或 A 真包含 B ，记作 A ⊃ B 或 B ⊂ A 。符号化表示为
B ⊂ A ⇔∀ x （ x ∈ B → x ∈ A ）∧∃ x （ x ∈ A ∧ x ∉ B ）
例如，{0，1}是{0，1，2}的真子集，但{1，5}和{0，1，2}都不是{0，1，2}的真子集。
根据定义，不难得到集合满足下面的性质。
1）对任何集合 A 都有 A ⊆ A 。
2）设 A 、 B 为集合， A ⊆ B ∧ B ⊆ A ⇔ A = B 。
3）设 A 、 B 、 C 为集合， A ⊆ B ∧ B ⊆ C ⇒ A ⊆ C 。
证明 1）显然成立。
2） A ⊆ B ∧ B ⊆ A
⇔∀ x （ x ∈ A → x ∈ B ）∧∀ x （ x ∈ B → x ∈ A ）
⇔∀ x （（ x ∈ A → x ∈ B ）∧（ x ∈ B → x ∈ A ））
⇔∀ x （ x ∈ A ↔ x ∈ B ）
⇔ A = B
3） A ⊆ B ∧ B ⊆ C
⇔∀ x （ x ∈ A → x ∈ B ）∧∀ x （ x ∈ B → x ∈ C ）
⇔∀ x （（ x ∈ A → x ∈ B ）∧（ x ∈ B → x ∈ C ））
⇒∀ x （ x ∈ A → x ∈ C ）
⇔ A ⊆ C
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可以用文氏图形象地表示集合间的关系。文氏图是以英国数学家John Venn的名字命名的，他在1881年提出了这种表示方法。将所考虑的所有对象的集合 E 称为全集。在文氏图中用长方形表示全集，用圆或其他封闭的几何图形表示集合，有时用点表示集合中特定的元素。
例如，英文字母中元音字母的集合 V ={ a ， e ， i ， o ， u }是全部26个英文字母集合 E 的子集，即 V ⊆ E ，如图3.2.1所示。
集合 A 和 B 是全集 U 的子集且 A ⊆ B ，用文氏图表示 A ⊆ B ，如图3.2.2所示。
图3.2.1 用文氏图表示 V ⊆ E
图3.2.2 用文氏图表示 A ⊆ B
定理3.2.1 空集∅是一切集合的子集。
证明 对任意集合 A ，由子集的定义有
∅⊆ A ⇔∀ x （ x ∈∅→ x ∈ A ）
由于 x ∈∅为假，所以整个蕴涵式 x ∈∅→ x ∈ A 对一切 x 为真，因此∅⊆ A 为真。
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推论 空集是唯一的。
证明 假设存在空集∅ 1 和∅ 2 ，根据定理3.2.1，有∅ 1 ⊆∅ 2 和∅ 2 ⊆∅ 1 ，根据集合相等的定义得∅ 1 =∅ 2 。
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例3.2.1 确定下列命题是否为真。
1）∅⊆∅ 2）∅∈∅ 3）∅⊆{∅} 4）∅∈{∅}
解 1）、3）、4）为真，2）为假。因为任何集合都是它自己的子集，所以1）为真；空集中没有任何元素，所以2）为假；空集是任何集合的子集，因此3）为真；而4）集合有一个元素∅，所以为真。
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含有 n 个元素的集合简称 n 元集 ，其含有 m 个元素的子集称作它的 m 元子集 。任给一个元集，可求出它的全部子集。
例3.2.2 求 A ={ a ， b ， c }的全部子集。
解 将 A 的子集从小到大分类。
0元子集，即空集，只有1个：∅。
1元子集，即单元子集，有3个：{ a }，{ b }，{ c }。
2元子集，有3个：{ a ， b }，{ a ， c }，{ b ， c }。
3元子集，有1个：{ a ， b ， c }。
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一般说来，对于有
n
个元素的集合
A
，它的
m
（0≤
m
≤
n
）元子集有
个，所以不同的子集总数为
由二项式定理不难证明上式的和是2 n ，所以， n 元集有2 n 个子集。
定义3.2.4 设 A 为集合，把 A 的全体子集构成的集合叫作 A 的 幂集 ，记作 P （ A ）（或2 A ），符号化表示为
P （ A ）={ x | x ⊆ A }
例3.2.3 设 A ={ a ， b ， c }，求 A 的幂集 P （ A ）。
解 P （ A ）={∅，{ a }，{ b }，{ c }，{ a ， b }，{ a ， c }，{ b ， c }，{ a ， b ， c }}。
可以看出，若 A 是 n 元集，则 P （ A ）有2 n 个元素。
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例3.2.4 计算空集∅的幂集和集合{∅}的幂集。
解 因为任何集合都是它自己的子集，所以空集∅有一个子集∅，∅的幂集 P （∅）={∅}。
集合{∅}的子集有∅和{∅}，因而 P （{∅}）={∅，{∅}}。
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例3.2.5 证明 A ⊆ B 当且仅当 P （ A ）⊆ P （ B ）。
证明 1）先证明必要性，对任意的 x ，有
x ∈ P ( A )
⇔ x ⊆ A
⇒ x ⊆ B （ 因为 A ⊆ B ）
⇔ x ∈ P （ B ）
所以 P （ A ）⊆ P （ B ）成立。
2）再证明充分性，对任意的 y ，有
y ∈ A
⇔{ y }⊆ P （ A ）
⇒{ y }⊆ P （ B ）（ 因为 P （ A ）⊆ P （ B ））
⇔ y ∈ B
所以 A ⊆ B 成立。
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