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集合论包括朴素集合论和公理集合论两种体系。朴素集合论最早是由德国数学家康托尔（1845—1918）创立的，认为由一些对象聚集而成的都可以称为集合。由于这种定义会导致悖论，数学家们后来逐渐发展出公理集合论，采用多条公理形式化地定义集合，通过增加限制来避免悖论。本书仅对朴素集合论进行介绍。
通俗地说，朴素集合论认为集合是由一些对象聚集在一起构成的。例如，全体整数可以构成一个集合，全体中国人可以构成一个集合，26个英文字母可以构成一个集合，等等。构成集合的对象可以是各种类型的事物。
定义3.1.1 集合中的对象称为集合的 元素 或 成员 。
通常用大写的英文字母作为集合的名称，例如，字母 ℕ代表自然数集合、ℝ代表实数集合、ℤ代表整数集合、ℤ + 代表正整数集合、ℤ - 代表负整数集合等。
集合的元素通常用小写的英文字母表示。若 a 是集合 A 的一个元素，可以记为 a ∈ A （读作 a 属于 A ）。若 a 不是集合 A 的一个元素，则记为 a ∉ A （读作 a 不属于 A ）。例如，2∈ℕ、2∉ℤ - 。
表示集合的方法有很多，下面介绍常用的集合表示方法。
1.列举法
列举法是列出集合的所有元素，元素之间用逗号隔开，并把它们用花括号括起来。例如， A ={ a ， b ， c ， d }、 B ={1，2，3，4}等。有时无法列出集合的所有元素，先列出部分元素，当元素的一般形式很明显时用省略号表示其余所有元素，如 ℕ={1，2，3，…}、ℂ={2，4，6，…，2 n ，…}、ℤ={0，±1，±2，…}等。
2.描述法
描述法不要求列出集合中的所有元素，只要把集合中的元素具有的性质或所满足的条件描述出来即可。可以用谓词公式描述集合中的元素具有的性质或所满足的条件，表达式为
B ={ x | P （ x ）}
上式表示集合 B 是由具有性质 P 的元素 x 构成。例如， B ={ x | x ∈ℤ∧3＜ x ≤6}、 C ={ x | x 是小于10的正整数}等。
3.归纳法
归纳法通过归纳定义集合，主要由三部分组成：
1）指出属于集合的基本元素。
2）指出由基本元素构造新元素的方法。
3）指出该集合的界限。
前两步指出一个集合至少要包含的元素，第3步指出一个集合至多要包含的元素。
例如，集合 A 按归纳法定义如下：
1）0和1都是集合 A 的元素。
2）如果 a 、 b 是 A 的元素，则 ab 和 ba 也是 A 的元素。
3）有限次地使用1）、2）后所得到的字符串都是 A 的元素。
在这个集合的定义中，1）是归纳的基础，指出了集合 A 中最基本的元素是0和1。2）是归纳，给出了由0和1构造新元素的方法，如00、01、11等都是由0和1构造的集合 A 中的元素。3）指出了集合的界限。
集合中的元素可以具有共同性质，也可以表面上看起来不相关，如{2，Tom，计算机，广州}的4个元素分别是编号、名字、专业和城市。集合也可以作为集合的元素，如集合 A ={{1，2}， a ，ℕ}包含3个元素，第一个元素是集合{1，2}，第二个元素是字母 a ，第三个元素是自然数集合 ℕ，即{1，2}∈ A ， a ∈ A ，ℕ∈ A ，但1∉ A ，2∉ A ，1和2是 A 的元素的元素。
在集合中，规定元素之间没有次序关系，一个元素重复出现多次和只出现一次是一样的。例如，{3，4，5}、{3，4，4，5，5}、{5，3，4}都是同一个集合。
定义3.1.2 有限个元素构成的集合 A 称为 有限集 ，其中包含的元素个数称为该集合的元素数，记为| A |。无限个元素构成的集合称为 无限集 。
定义3.1.3 不含任何元素的集合称为 空集 ，记为∅。空集可以符号化表示为
∅={ x | x ≠ x }
空集是客观存在的，例如 A ={ x | x ∈ℝ∧ x 2 +1=0}，因为方程 x 2 +1=0没有实数解，所以没有实数属于集合 A ，因此 A =∅。
根据上述定义，对于任一元素 x ，有 x ∈∅⇔0。
定义3.1.4 所考虑的所有对象的集合称为 全集 ，记为 E 。
全集是一个相对概念。由于所研究的问题不同，所取的全集也不同。例如：在研究平面解析几何的问题时，可以把整个坐标平面取为全集；在研究整数的问题时，可以把整数集 ℤ取为全集。
对于全集中的任一元素 x ，有 x ∈ E ⇔1。