下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
1.将下列命题符号化。
（1）鸟都会飞翔。
（2）并不是所有人学习成绩都很好。
（3）不是所有人都不爱看电影。
（4）有人爱看小说。
2.在不同个体域中确定下列表达式的真值。
（1）∀ x ∃ y （ xy =0）
（2）∃ x ∀ y （ xy =0）
（3）∀ x ∃ y （ xy =1）
（4）∃ x ∀ y （ xy =1）
（5）∀ x ∃ y （ xy = x ）
（6）∃ x ∀ y （ xy = x ）
（7）∀ x ∀ y ∃ z （ x-y = z ）
个体域分别为：
（a）实数集合 ℝ
（b）整数集合 ℤ
（c）正整数集合 ℤ +
（d）ℝ-{0}（非零实数集合）
3.令 L （ x ， y ）表示“ x 喜欢 y ”，个体域为所有人的集合。用谓词和量词表示下面的命题。
（1）有些人被一些人喜欢。
（2）每个人都喜欢一些人。
（3）一些人不喜欢任何人。
（4）每个人都喜欢小王。
（5）有些人被所有的人喜欢。
（6）没有人人都喜欢的人。
（7）每个人都不喜欢一些人。
4.将下列命题用谓词逻辑符号化。
（1）没有不犯错误的人。
（2）小王从未给小李发过电子邮件，或打过电话。
（3）只要你给我发个电子邮件，我就有你的邮件地址。
（4）在广州工作的人未必都是广州人。
（5）对顶角都相等。
（6）并非所有的智能工作都能由计算机来完成。
（7）有些物品价格上涨，但不是所有物品的价格都上涨。
（8）这个班有人给班上其他人都发过电子邮件。
（9）不是每个大于1的自然数都是某个自然数的平方。
（10）任何自然数都有唯一的后继数。
5.假设个体域为一个大学的所有学生的集合，令 F （ x ）表示“ x 是新生”、 M （ x ）表示“ x 是计算机专业的学生”，说明下面的每一个谓词逻辑表达式表示了下列三个命题中的哪一个。
（1）一些新生是计算机专业的学生。
（2）每一个计算机专业的学生都是新生。
（3）没有一个计算机专业的学生是新生。
（a）
（b）
（c）
（d）∀ x （ M （ x ）→ F （ x ））
（e）∃ x （ F （ x ）∧ M （ x ））
（f）
（g）
（h）
（i）
（j）
6.将下列命题符号化，个体域是整数集合，指出各命题的真值。
（1）对所有的 x ，都存在 y 使得 x + y =0。
（2）存在 x ，使得对所有 y 都有 x + y =0。
（3）对所有的 x ，都存在 y 使得 xy =0。
（4）存在 x ，使得对所有 y 都有 xy =0。
（5）对任意 x 和 y ，都有 xy = yx 。
（6）对任意 x 和 y ，都有 xy = x + y 。
（7）存在 x 和 y ，使得 xy = x + y 。
7.假设命题函数 P （ x ， y ）的个体域是{1，2，3}，用析取和合取联结词表示下列命题。
（1）∃ xP （ x ，2）
（2）∀ yP （3， y ）
（3）∀ x ∀ yP （ x ， y ）
（4）∃ x ∃ yP （ x ， y ）
（5）∃ x ∀ yP （ x ， y ）
（6）∀ y ∃ xP （ x ， y ）
8.给定解释 I 如下：
（1）个体域为实数集 ℝ；
（2）元素 a =0;
（3）ℝ中特定的函数 f （ x ， y ）= x-y ；
（4）ℝ中特定的谓词 F （ x ， y ） ：x = y ， G （ x ， y ）： x ＜ y 。
（5）在解释 I 下，求下列各式的真值。
（a）∀ xG （ f （ a ， x ）， a ）
（b）∀ x ∀ y （ G （ f （ x ， y ）， a ）→ F （ x ， y ）
（c）
（d）∀ x ∀ y （ F （ f （ x ， y ）， a ）→ G （ x ， y ））
9.（1）试给出解释 I 1 ，使得下列表达式在 I 1 下具有不同的真值。
∀ x （ F （ x ）→ G （ x ））与∀ x （ F （ x ）∧ G （ x ））
（2）试给出解释 I 2 ，使得下列表达式在 I 2 下具有不同的真值。
∃ x （ F （ x ）∧ G （ x ））与∃ x （ F （ x ）→ G （ x ））
10.试寻找一个表达式 A ，使 A 在某些解释下为真，而在另外一些解释下为假。
11.给出解释 I ，使下面两个公式在解释 I 下均为假，从而说明这两个公式都不是逻辑有效式。
（1）∀ x （ F （ x ）∨ G （ x ））→（∀ xF （ x ）∨∀ xG （ x ））
（2）（∃ xF （ x ）∧∃ xG （ x ））→∃ x （ F （ x ）∧ G （ x ））
12.判断下列各式的类型。
（1）∀ x ∀ yF （ x ， y ）→（ G （ x ， y ）→∀ x ∀ yF （ x ， y ））
（2）
（3）∀ x ∃ yF （ x ， y ）→∃ x ∀ yF （ x ， y ）
（4）∀ x ∀ y （ F （ x ， y ）←→ F （ y ， x ））
（5）
（6）（∃ xF （ x ）→∃ xG （ x ））→∃ x （ F （ x ）→ G （ x ））
13.证明
和
有相同的真值。
14.证明∃ xP （ x ）∧∃ xQ （ x ）和∃ x （ P （ x ）∧ Q （ x ））逻辑不等价。
15.证明∀ xP （ x ）∧∃ xQ （ x ）和∀ x ∃ y （ P （ x ）∧ Q （ y ））逻辑等价。
16.指出下列公式中每个量词的作用域，并指出个体变元是约束变元还是自由变元。
（1）∀ x ∀ y （ P （ x ， y ）∨ Q （ y ， z ））∧∃ yR （ x ， y ）
（2）∃ x （ x = y ∧ x 2 + x ＜5→ x ＜ z ）→ x =5 y 2
17.求下列公式的前束范式。
（1）
（2）∀ xP （ x ）→∃ xQ （ x ）
（3）∃ xP （ x ）→∀ xQ （ x ）
（4）∀ x （ P （ x ， y ）→ Q （ z ））∨∃ x （ R （ z ）→∀ yS （ x ， y ， z ））
（5）
18.将下列命题符号化，要求符号化的公式为前束范式。
（1）有的汽车比有的火车跑得快。
（2）有的火车比所有汽车跑得快。
（3）说所有火车比所有汽车都跑得快是不对的。
（4）说所有飞机比有的汽车速度慢是不对的。
19.证明下列蕴涵关系式成立。
（1）∀ x （ P （ x ）→（ Q （ y ）∧ R （ x ）），∃ xP （ x ）⇒∃ x （ P （ x ）∧ R （ x ））
（2）
（3）∃ xP （ x ）→∀ xQ （ x ）⇒∀ x （ P （ x ）→ Q （ x ））
（4）∃ xP （ x ）→∀ x （（ P （ x ）∨ Q （ x ））→ R （ x ）），∃ xP （ x ），∃ xQ （ x ）⇒∃ x ∃ y （ R （ x ）∧ R （ y ））
（5）∀ x （ P （ x ）→ Q （ x ））⇒∀ xP （ x ）→∀ xQ （ x ）
（6）
20.指出下列推导中的错误，并加以改正。
证明∀ x （ P （ x ）→ Q （ x ）），∃ xP （ x ）⇒∃ xQ （ x ）
证明步骤如下：
21.构造下列推理的证明。
（1）∀ x （ P （ x ）→（ Q （ y ）∧ R （ x ））），∀ xP （ x ）⇒ Q （ y ）∧∃ x （ P （ x ）∧ R （ x ））
（2）∃ xP （ x ）→∀ y （（ P （ y ）∨ Q （ y ））→ R （ y ））⇒∃ xP （ x ）→∃ xR （ x ）
（3）
（4）∀ x （ P （ x ）→（ Q （ x ）∧ R （ x ））），∃ xP （ x ）⇒∃ x （ P （ x ）∧ R （ x ））
22.说明下列推理是否是逻辑有效的。
（1）所有的好书定价都高，没有一本书定价高。所以没有一本书是好书。
（2）本班有人上网，所有上网的人都发过电子邮件。所以本班有人发过电子邮件。
（3）所有的舞蹈者都很有风度，有些学生很有风度。所以有些学生是舞蹈者。
23.符号化下列命题，并推证其结论。
（1）这个班有个学生喜欢海洋生物，每个喜欢海洋生物的人都关心海洋污染。所以这个班有学生关心海洋污染。
（2）所有的自然数都是整数，某些自然数是偶数。所以某些整数是偶数。
（3）所有的自然数都是整数，任一整数不是奇数就是偶数，并非每个自然数都是偶数。所以某些自然数是奇数。
（4）每一个大学生，不是文科学生就是理工科学生；有的大学生是优秀学生；小王不是文科学生，但他是优秀学生。因而，如果小王是大学生，他就是理工科学生。
（5）任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车。每个人或者喜欢乘汽车或者喜欢骑自行车。有的人不喜欢骑自行车，因而有的人不喜欢步行。