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在谓词逻辑中，要将原子命题分解成个体词和谓词两部分。
定义2.1.1 个体 是指可以独立存在的客体，可以是一个具体的事物或抽象的概念，是原子命题所描述的对象。 谓词 用来说明个体的性质或个体间的关系。
例如，对于原子命题“小王是一个大学生”，“小王”是个体词，“……是一个大学生”是谓词，说明个体的性质；而对于原子命题“3大于2”，“3”和“2”是个体词，“……大于……”是谓词，说明个体词间的关系。
用谓词逻辑表达命题，要包括表示个体的字母和表示谓词的字母两部分。通常用大写英文字母表示谓词，用小写英文字母表示个体词。一般地，形如“ b 是 A ”类型的命题可表达为 A （ b ）；表示多个个体间关系的命题，如“ a 大于 b ”可表达为 B （ a ， b ）， B 是“……大于……”，而“点 a 位于点 b 和点 c 之间”可表达为 P （ a ， b ， c ）， P 是“……位于……和……之间”。
定义2.1.2 和一个个体相联系的谓词称为 一元谓词 ，和两个个体相联系的谓词称为 二元谓词 ，和 n 个个体相联系的谓词称为 n 元谓词 。 个体常元 表示具体的或特定的个体，用 a ， b ， c ，…表示个体常元； 个体变元 表示抽象的或泛指的个体，用 x ， y ， z ，…表示个体变元。表示具体性质或关系的谓词称为 谓词常项 ，表示抽象或泛指的谓词称为 谓词变项 ，都是用大写英文字母如 P ， Q ， R ，…表示。通常根据上下文来区分 P ， Q ， R ，…表示的是谓词常项还是谓词变项。
定义2.1.3 一个原子命题可以用一个谓词常项 P 和几个个体常元，如 a ， b ， c ，…，表示成 P （ a ， b ， c ，…）的形式。称 P （ a ， b ， c ，…）为原子命题或命题的 谓词表达式 。一个谓词常项 P 和几个个体变元如 x ， y ， z ，…表示成 P （ x ， y ， z ，…）的形式，称为 命题函数 ，其中的个体变元可以代表任意一个个体。
命题的谓词表达式和命题函数是不同的。命题的谓词表达式是有真值的，命题函数的真值是不确定的，例如 A （ x ）表示 x 是个大学生，真值是不确定的，不是命题。当 b 表示小王， A （ b ）表示命题：“小王是个大学生”， A （ b ）是命题的谓词表达式。
例2.1.1 写出下列命题的谓词表达式。
1）小赵不是工人。
2）小丽是非常聪明和美丽的。
3）若小明是高中生，则小明不是大学生。
4）2是偶数，4是偶数，则2+4也是偶数。
5）小丽是王老师和李老师的孩子。
解 1）设 A （ x ）： x 是工人， a ：小赵。则命题符号化为
2）设 A （ x ）表示 x 是聪明的， B （ x ）表示 x 是美丽的， a 表示小丽，则命题符号化为
A ( a )∧ B ( a )
3）设 A （ x ）表示 x 是高中生， B （ x ）表示 x 是大学生， a 表示小明，则命题符号化为
4）设 A （ x ）表示 x 是偶数， B （ x , y ）表示 x + y 是偶数， a 表示2， b ：4。则命题符号化为
A （ a ）∧ A （ b ）→ B （ a ， b ）
5）设 Q （ x ， y ， z ）表示 z 是 y 和 x 的孩子， a 表示小丽， b 表示王老师， c 表示李老师，则命题符号化为
Q ( c ， b ， a )
从上面的例题可以看出，谓词中个体的顺序是十分重要的，不能随意改变，如命题 Q （ c ， b ， a ）为真，但命题 Q （ a ， b ， c ）为假。
一个 n 元谓词不是一个命题。命题的谓词表达式是用具体的个体名称取代命题函数的个体变元。命题函数的个体变元可以用个体域中的任意个体取代。事实上，个体变元在哪些范围取值及取什么值，对是否成为命题及命题的真值有很大影响。例如， A （ x ）表示 x 是大学生。如果 x 的取值范围是某大学班级中的学生，则 A （ x ）是永真式。如果 x 的取值范围是某中学班级中的学生，则 A （ x ）是永假式。如果 x 的取值范围是单位的员工，其中有些是大学生，有些不是大学生，则对有些人 A （ x ）为真，对有些人 A （ x ）为假。
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定义2.1.4 命题函数中，个体变元的取值范围称为 个体域 或 论述域 。
个体域可以是有限的，也可以是无限的。把宇宙中的一切事物作为对象的集合称为 全总个体域 。通常，没有特别说明时，个体变元的论述域是指全总个体域。
例2.1.2 设 F （ x , y , z ）:4 x + y -3 z ≤0， G （ x , y ）： x > y ，求 F （3,4,5）∧ G （3,4）和 F （2,1,3）∧ G （2,1）的真值。
解 F （3,4,5）:12+4-15≤0，真值为0， G （3，4）：3>4，真值为0，所以 F （3,4,5）∧ G （3,4）为假。 F （2,1,3）：8+1-9≤0，真值为1， G （2，1）：2>1，真值为1，所以 F （2,1,3）∧ G （2,1）为真。
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例2.1.3 给出执行语句“If P （ x ）then x:=3”以后 x 的值，其中 P （ x ）为语句“ x <3”，且执行到该语句时 x 的值如下。
1） x =4 2） x =3 3） x =1
解 1）执行到语句“If P （ x ）then x :=3”时，若 x =4， P （ x ）为语句“4<3”，真值为0，不执行赋值语句“ x :=3”，所以 x =4。
2）执行到语句“If P （ x ）then x :=3”时，若 x =3， P （ x ）为语句“3<3”，真值为0，不执行赋值语句“ x :=3”，所以 x =3。
3）执行到语句“If P （ x ）then x :=3”时，若 x =1， P （ x ）为语句“1<3”，真值为1，执行赋值语句“ x :=3”，所以 x =3。
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根据前面的叙述，当命题函数中所有变元均被赋值后，命题函数才成为命题。当把命题函数中的所有变元都量化后，也可使命题函数成为命题。例如：
1）这家公司所有员工都喜欢锻炼。
2）这家公司某些员工喜欢锻炼。
这两句都是命题，除了有个体词和谓词外，还有表示数量的词。这两句的个体词和谓词相同，个体域都是这家公司的员工。将个体域的每个个体代换个体变元后，可以判断其真假。当1）中每个个体代换后均为真，该命题的真值才为1，只要有一个个体代换后为假，该命题的真值就是0。当2）中有一个或多个个体代换后为真，该命题的真值就是1，只有当每个个体代换后均为假，该命题的真值才为0。因此，将这两个命题符号化时要使用表示数量的词。
定义2.1.5 表示个体常元或个体变元之间数量关系的词称为 量词 。量词有两种。
1） 全称量词 符号为“∀”，∀ x 表示对个体域“所有的 x ”“每一个 x ”“一切 x ”等。
2） 存在量词 符号为“∃”，∃ x 表示个体域中“存在这样的 x ”“某个 x ”“至少有一个 x ”或“有一些 x ”等。
∀ xF （ x ）表示个体域中所有个体都有性质 F ，∃ xF （ x ）表示个体域中存在个体有性质 F 。
例2.1.4 假设 F （ x ）表示 x 喜欢锻炼， x 的个体域是某家公司的员工，将上面的命题符号化。
解 1）这家公司所有员工都喜欢锻炼，可符号化为∀ xF （ x ）。
2）这家公司某些员工喜欢锻炼，可符号化为∃ xF （ x ）。
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这个例题中， F （ x ）是命题函数，∀ xF （ x ）和∃ xF （ x ）是命题。也就是说，命题可以通过将命题函数中的个体变元量化得到。
在使用量词时，不同的个体域中命题符号化的形式可能不一样。一般来说，没有特别说明时，以全总个体域为个体域。例如上面的例题中，当个体域是全总个体域时，1）不能符号化为∀ xF （ x ），因为用宇宙中一切事物代换个体变元时，该命题的真值不为1。2）也不能符号化为∃ xF （ x ），因为在宇宙的一切事物中存在具有性质 F 的个体，但这和题意是不相符的。原因是这两个命题的个体域只是全总个体域的子集。因此，需要引入一个新的谓词表示个体的取值范围。称这个表示个体范围的谓词为 特性谓词 。在命题符号化时，一定要正确使用特性谓词。
在例2.1.4中，如果个体的取值范围是全总个体域，则设特性谓词 S （ x ）表示 x 是这个公司的员工，这样，1）符号化为∀ x （ S （ x ）→ F （ x ）），2）符号化为：∃ x （ S （ x ）∧ F （ x ））。
注意：在使用全称量词时，表示个体范围的特性谓词和表示个体性质的谓词构成条件关系式；在使用存在量词时，表示个体范围的特性谓词和表示个体性质的谓词构成合取关系式。
例2.1.5 个体域分别为人类集合、全总个体域，将下列命题符号化，并给出它们的真值。
1）人类都呼吸。
2）有的人用左手。
解 假设 F （ x ）表示 x 呼吸， G （ x ）表示 x 用左手写字。
（1）个体域为人类集合
1）符号化为∀ xF （ x ），真值为1。
2）符号化为∃ xG （ x ），真值为1。
（2）个体域为全总个体域
因为全总个体域里包括人以外的东西，所以我们在这里引入谓词 A （ x ）： x 是人类。
1）符号化为∀ x （ A （ x ）→ F （ x ）），真值为1。
2）符号化为∃ x （ A （ x ）∧ G （ x ）），真值为1。
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例2.1.6 用谓词逻辑将下列命题符号化。
1）所有的教练员都是运动员。
2）这个班有些学生有智能手机。
3）没有不爱学习的华工人。
4）并非每个实数都是有理数。
5）某些大学生运动员是国家运动员。
6）有些大学生不钦佩运动员。
解 1）设 A （ x ）表示 x 是教练员， B （ x ）表示 x 是运动员。则原命题可符号化为
∀ x （ A （ x ）→ B （ x ））
2）设 A （ x ）表示 x 是这个班的学生， B （ x ）表示 x 有智能手机。则原命题可符号化为
∃ x （ A （ x ）∧ B （ x ））
3）设 A （ x ）表示 x 是华工人， B （ x ）表示 x 爱学习，命题可符号化为
4）设 A （ x ）表示 x 是实数， B （ x ）表示 x 是有理数。则原命题可符号化为
5）设 A （ x ）表示 x 是大学生， B （ x ）表示 x 是运动员， C （ x ）表示 x 是国家选手。则原命题可符号化为
∃ x （ A （ x ）∧ B （ x ）∧ C （ x ））
6）设 A （ x ）表示 x 是大学生， B （ y ）表示 y 是运动员， C （ x ， y ）表示 x 钦佩 y 。则原命题可符号化为
∃ x （ A （ x ）∧ ∀ y （ B （ y ）→ C （ x ， y ）））
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以上各题中论述域都是全总个体域，因而都要引入特性谓词表示个体的取值范围。在全称量词后面的是表示个体范围的谓词和表示个体特征的谓词构成的条件式，在存在量词后面的是表示个体范围的谓词和表示个体特征的谓词构成的合取式。命题1）不可以表示成∀ x （ A （ x ）∧ B （ x ）），因为∀ x （ A （ x ）∧ B （ x ））表示所有的 x 都是正整数并且大于0，和题意不符。命题2）不能表示成∃ x （ A （ x ）→ B （ x ）），因为不是这个班的有智能手机的学生代入也可使 A （ x ）→ B （ x ）为真。
当论述域中的元素个数有限时，例如，论述域为 n 个元素的集合{ a 1 ， a 2 ， a 3 ，…， a n }时，有
∀ xA （ x ）⇔ A （ a 1 ）∧ A （ a 2 ）∧ A （ a 3 ）… ∧ A （ a n ）
∃ xA （ x ）⇔ A （ a 1 ）∨ A （ a 2 ）∨ A （ a 3 ）… ∨ A （ a n ）
例2.1.7 假设个体域为 D ={-2,3,6}，谓词 F （ x ）: x ≤3， G （ x ）: x >5， R （ x ）: x ≤7，求下列各式的真值：
1）∀ xF （ x ）
2）∃ xF （ x ）
3）∀ x （ F （ x ）∧ G （ x ））
4）∀ x （ R （ x ）→ F （ x ））∨ G （5）
5）∃ x （ F （ x ）∨ G （ x ））
解 1）∀ xF （ x ）
⇔ F （-2）∧ F （3）∧ F （6）
⇔1∧1∧0
⇔0
所以∀ xF （ x ）为假。
2）∃ xF （ x ）
⇔ F （-2）∨ F （3）∨ F （6）
⇔1∨1∨0
⇔1
所以∃ xF （ x ）为真。
3）∀ x （ F （ x ）∧ G （ x ））
⇔（ F （-2）∧ G （-2））∧（ F （3）∧ G （3））∧（ F （6）∧ G （6））
⇔（1∧0）∧（1∧0）∧（0∧1）⇔0
所以∀ x （ F （ x ）∧ G （ x ））为假。
4）∀ x （ R （ x ）→ F （ x ））∨ G （5）
⇔（（ R （-2）→ F （-2））∧（ R （3）→ F （3））∧（ R （6）→ F （6）））∨0
⇔（1→1）∧（1→1）∧（1→0）
⇔0
所以∀ x （ R （ x ）→ F （ x ））∨ G （5）为假。
5）∃ x （ F （ x ）∨ G （ x ））
⇔∃ xF （ x ）∨∃ xG （ x ）量词分配等价式
⇔（ F （-2）∨ F （3）∨ F （6））∨（ G （-2）∨ G （3）∨ G （6））
⇔（1∨1∨0）∨（0∨0∨1）⇔1
所以∃ x （ F （ x ）∨ G （ x ））为真。
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根据上面的例题，可以得出如下结论。
1）在不同的个体域内，同一个命题的符号化形式可能不同，也可能相同。
2）同一命题，在不同的个体域中的真值可能不同，也可能相同。
3）全称量词后跟的是由特性谓词和谓词组成的条件式，存在量词后跟的是由特性谓词和谓词组成的合取式。
4） P （ x ）不是命题，当 x 用个体常元代替，或用量词量化为∀ xP （ x ）和∃ xP （ x ）时，则成为命题。
5）对含多个个体变元的命题函数，要对每一个个体变元量化或用个体常元代换，才能转变为命题。因而，会同时出现多个量词。除非所有量词都是全称量词或存在量词，否则，在多个量词同时出现时，不能随意颠倒量词的顺序，颠倒后会改变原命题的含义。
例2.1.8 对个体域{1，2}，判定下列公式的真值， E （ x ）表示“ x 是偶数”。
1）
2）
3）∀ x （ E （ x ）∧ x =1）
4）∀ x （ E （ x ）→ x =1）
解 1）第一个命题的含义是对于任意 x ，如果 x 是偶数，则 x 不等于1，个体域中只有2是偶数，为真命题。
2）第二个命题的含义是存在 x 为偶数，且 x 不等于1。2满足条件，所以这是真命题。
3）第三个命题的含义是对于任意 x ， x 都是偶数且等于1，这显然是错误的，是假命题。
4）第四个命题的含义为对于任意 x ，如果 x 为偶数，则 x 等于1，当 x 为1时， E （1）→1=1为真，当 x 为2时， E （2）→2=1为假，所以此命题为假。
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