2.3　波函数的物理意义

我们考虑波动方程的某一个给定的一般解Ψ（x，t）. 在给定的时刻t，Ψ和它的共轭复数的乘积Ψ ^* （x，t）Ψ（x，t）是一个对-∞到+∞中间的所有x的值（也就是一维体系的全部位形空间）都有定义的函数. 关于Ψ的物理意义，我们作如下的假设：

量Ψ ^* （x，t）Ψ（x，t）dx是物理状态由波函数Ψ（x，t）所代表的体系在时间t处在位形空间的x到x+dx区间内的概率. 位形由位形空间中的一个点表示. 换句话说，Ψ ^* （x，t）Ψ（x，t）是体系位形的概率分布函数. 在上面讨论的简单例子中，Ψ ^* （x，t）Ψ（x，t）dx是粒子在时刻t处在x到x+dx间的概率.

为了使这一假设合理，函数Ψ（x，t）必须归一化；因为在全部位形空间中找到粒子的概率必然等于1，这就要求适当选择方程（2.11）中的常数a _n ，使得

我们可以把各个振幅函数ψ _n （x）也独立地归一化，使它们满足方程

同时可以证明，振幅方程的独立解总是可以满足积分关系式

这时，我们说函数是互相正交的. 这样一组满足式（2.15）和（2.16）的ψ叫作一组正交归一函数. 利用这些关系式就可以发现，当系数a _n 满足关系式

时， 就归一化了.

让我们考虑某一个体系的概率分布函数Ψ ^* ，这个体系处在波函数Ψ（x，t）= 和它的共轭复数 所代表的状态中. 将这两个级数乘在一起，Ψ ^* Ψ就有下面的形式：

其中∑′表示只包括m≠n的项. 一般来说，既然二重求和号中包含有时间的指数因子，那么概率分布函数就和时间有关；而体系的性质也就依赖于时间而变化. 只有在对应于某一本征值E _n 的系数a _n 以外其他系数a _n 都等于零的时候，Ψ ^* Ψ才和t无关. 在这一情形中，波函数将只有一项， ；振幅函数ψ _n （x）是振幅方程的特殊解. 对这样一种状态，由概率分布函数给出的体系性质也和时间无关，因此这种状态称为定态.

假使我们问：“在时间t，物理位形由波函数Ψ代表的体系量，它的坐标x将会得到怎样的平均值？”那么上述对Ψ ^* Ψ给的解释就给出解答：

也就是，x的值对所有位形进行了平均，而用函数Ψ ^* Ψ作为权重或概率函数. 类似的积分对坐标x的任意函数F（x）给出平均值：

为了能够求得包含动量p _x 和坐标x的更一般的力学量G（p _x ，x）的平均值，我们作更一般的假设如下：

对某一个物理位形由波函数Ψ（x，t）代表的体系，其力学量G（p _x ，x）的平均值将由下列积分给出：

其中算符G是作用在Ψ（x，t）上的，而在G（p _x ，x）中用 代替p _x ，这里的积分伸展到体系的全部位形空间.

一般来说，G的测量结果并不由这一 的表示式给定. 实际上是对相同体系（位形由Ψ代表）同时测量的平均值，或者是对同一体系重复测量的平均值，每次测量前必须使体系恢复同一位形. 例如，如果Ψ对x值的某一个区间是有限的（图2.2），那么x的测量值就可以是这一区间中的任何数值，出现的概率为Ψ ^* Ψ. 只有当除x=a外，Ψ ^* Ψ对所有的x值都为零，就像图2.2中的曲线B所示的那样，在测量x时所得到的特殊值x=a的概率才能等于1. 在这种情形里，测量x′得到a ^r 的概率是1；所以对这样一个概率分布函数有 . 数学家也曾经指出：力学量G的概率分布属B型的充分条件是等式 对所有r值成立，也就是G可以精确地测到.

甚至在体系处于波函数 代表的定态时，对一个任意的力学量也只能测出一个平均值. 但是与哈密顿函数H（p _x ，x）对应的定态体系的能量，却有一个确定的数值等于解波动方程时得到的本征值E _n ，所以体系处在定态的时候，能量可以精确地测到. 为了证明这一点，我们计算 由积分

给出，式中原有的包含时间的因子等于1，所以不再出现了. 利用方程（2.9）， 就化为

或者，因为E _n 是常数，且 ，故

用类似的方法，重复应用方程（2.9），就能得到 . 这样我们就证明了 ，根据前面的论证，体系的能量就有确定的数值E _n . P+jgt5hH2OenaDJUUDzbBXzo6gf57xXrKsEvLSkG9gAyAQPYYJ/MVWoE46wbxgiK