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为了解方程（2.1），我们用分离变量的方法，也就是将
Ψ（x，t）=ψ（x）φ（t） （2.6）
代入方程（2.1）再除以ψ（x）φ（t），就得到
上述方程的右方是时间t的函数，而左方仅是坐标x的函数. 因此方程的每一边就必须等于一个既不依赖x也不依赖t的数值；也就是说等于一个常数，我们叫它为E. 现在方程（2.7）可以写成两个方程，就是
和
习惯上把后一方程写成
方程（2.9）常被称为薛定谔波动方程，有时也叫作振幅方程，因为ψ（x）确定函数Ψ（x，t）的振幅. 与常数E的不同数值相对应，这个方程有不同的解. 我们用下标n来区别这些E的值. 类似地，与E n 对应的振幅函数用ψ n （x）表示.φ（t）的方程可以立刻积分出：
方程（2.1）是线性的，它的一般解是所有具有任意系数的特殊解的叠加. 所以我们把这个体系的波函数的一般形式表示为
其中a
n
是常数. 符号
表示对E
n
的断续值求和，或者是对一连续区间积分，也可以同时包含两种情况，按照特殊例子的需要而定.
以后会指出，关于波函数的物理意义所作的一般假设，要求常数E n 代表体系处在不同定态时的能量，因此把E n 叫作波动方程的特性能值或本征值. 既然我们要把波函数的绝对值平方解释成概率分布函数，为了使解释能说得通，而且不含糊，就必须给波函数以某些限制，例如单值性等. 事实上要成为合适的波函数， 薛定谔波动方程的解必须是连续的、单值的，而且一般来说，在体系的全部位形空间 （也就是对体系的所有可能的坐标x） 中是有限的 .
对一给定的体系，特性能值E n 可以是一组断续值，或者有一连续的区间，也可以是两种情况都有. 和光谱相似，常常说在这三种情形中能值是一组断续谱、连续谱，或两者并存. 习惯地把图2.1所表示的体系的特性能值标记成：E 0 是最低态，E 1 其次，并依此类推. 这些能值与波函数ψ 0 （x）、ψ 1 （x）、ψ 2 （x）等是对应的.E n 和ψ n （x）的下标n（整数）叫作量子数. 对这样一个一维体系，数n等于ψ n 所有的节点数目. 正如图2.1所示，假使E大于V（-∞）或V（+∞）中的一个，分析的结果指出，E的值是连续的，因此，当x→-∞或x→∞时，如果V（x）趋近有限值，特性能值就会同时有连续谱和断续谱.
图2.1 体系的特性能值
在波动方程和它的解的物理解释中，Ψ（x，t）的共轭复数Ψ * （x，t）是和Ψ（x，t）等价的. Ψ * 满足的波动方程是方程（2.1）的复数共轭，就是
这个共轭方程的一般解是
必须注意，含时指数项在Ψ
*
（x，t）和Ψ（x，t）中是不同的，形成共轭复数时要去掉负号. 另外，振幅函数ψ
n
（x）常常是实数，在这种场合就有
.