2.1　薛定谔波动方程

薛定谔（Schrödinger）的动力学体系和牛顿（Newton）、拉格朗日（Lagrange）以及哈密顿（Hamilton）的动力学体系在目的和方法上都有所不同. 牛顿方程使我们能够对一个给定运动状态的体系预测粒子的准确位置和速度，而薛定谔建议了另一种方法：计算体系坐标和时间（不是动量或速度）的一个函数，按照玻恩（Born）所研究出来的解释，借助于这函数就能够对体系预测坐标和其他动力学量的概然值. 以后认识到，采纳这种类型的动力学方程就不能再希望准确地描述体系的行为，也就是说，用量子力学方法讨论体系的行为所能达到的精确程度是受着 海森堡 （Heisenberg） 测不准原理 的限制的.

利用薛定谔波动方程和它的辅助假设，我们能够确定体系坐标和时间的某些函数Ψ. 这些函数被称为 薛定谔波函数 或 概率幅函数 . 波函数的绝对值平方解释成一个给定的体系坐标的概率分布函数. 之所以把它叫作波动方程是因为它是一个体系坐标的二阶微分方程，和经典力学的波动方程有些相似. 但这种相似性只有形式上的意义，在以后的解释中不必多加利用.

除了给出波函数Ψ，薛定谔方程还提供了一个计算体系的定态能值的方法. 定态的存在早已由原子和分子光谱中的断续线所证实了的.

在下面的讨论中，我们把薛定谔方程以及对波函数Ψ的辅助限制和波函数的物理意义取作基本假设，就好像以牛顿定律作为经典力学的基本假设一样. 这些假设只能由预测和实验结果的符合来验证. 如果量子力学的定律使我们感到陌生并且似乎违反我们的日常经验，这只是因为我们不习惯它们，并且我们的日常经验不可能包括原子和分子范围中的经验. 当我们知道愈来愈多的理论计算是符合事实的，量子力学就会变成我们的一部分，我们对它就能像对牛顿定律一样地感到熟识，同样地感到自然，我们就会认识到量子力学也是自然规律的一部分. 其实量子力学包括着牛顿力学作为一个特殊情形：当质量像宏观现象中那么大的时候，量子力学就还原成牛顿力学.

让我们首先考虑具有一个自由度的牛顿体系：质量为m的一个粒子沿一固定直线运动. 把直线取作x轴，并且假定体系由一个势能函数V（x）（-∞<x<+∞）描写. 这样一个体系的薛定谔波动方程假设成下面的形式：

其中函数Ψ（x，t）叫作含时薛定谔波函数或概率幅函数；h是普朗克（Planck）常量，等于（6.6260755±0.0000040）×10 ^-34 J·s. 值得注意的是，这一方程在形式上和经典力学的另一分支中的波动方程有些相似，像一根弦的振动就可以用类似的方程去描述.

薛定谔含时方程和经典牛顿力学的方程

有着密切的联系. 式（2.2）表示总能量E等于动能T和势能V的总和，并且等于哈密顿函数H（p _x ，x）. 引进坐标x和动量p _x ，方程就变成

现在，我们如果以微分算符 代替p _x ，以 代替E，并引进函数Ψ（x，t）使算符作用在它上面，那么方程就变成

这与方程（2.1）完全一样. 我们常常把波动方程写成

当然，式（2.5）中的H和E我们必须引入算符 和 .

必须认识到，波动方程和经典牛顿力学方程之间的相互关系不过提供了一种方便地描述体系的方法，使我们能够借助于经典动力学的工作者长期以来发展的术语来构成波动方程. 几乎对所有的原子和分子体系都可以采用经典理论的描述方法写出合适的波动方程，再用上述方法把它们转换成量子力学语言. 至少有这样的形式关系是很方便的，在以后的讨论中，我们将采取这样一些说法如“具有平方反比吸引力的双粒子体系”来代替“波动方程中包含六个坐标和一个函数e ² /r ₁₂ 的体系”等. 9gEwxRW4H2kB3noGTPeCrCfjPZ1KPeUBYDnCoq+z41CB1KkxSu3O6toQGFszNaMQ