第四节
乘法

[例 1]大豆每石价五元，问六石价若干？

这只是把六个五元加起来即可。

5 元+5 元+5 元+5 元+5 元+5 元=30 元。

这样把同一个数连加几回的，不用加法，而用别的一种简便方法，去得求其总和的，叫做乘法。即：

5元×6=30 元。

此时表要加的回数的数，如 6 叫乘数；原来要加合乘数回数的叫被乘数，如5 元即叫被乘数；其总和叫做积。

乘法，就是求同一个数要加许多回的总和的简便法。

某数要加几回，也叫把某数几倍。

[例 2]米每石十四元，问三斗之价若干？

三斗是一石的十分之三，故其价也应当是十四元的十分之三，即把十四元十等分为一元四角，再三倍起来，为四元二角。十四元的十等分又三倍，即是把它0.3 倍。故：

14 元×0.3=4.2 元。

其实就是把整数乘法的意义扩张一点，五石的价是一石的五倍，三斗的价便是一石的0.3 倍，二石五斗的价是 2.5 倍。因为五石是一石的 5 倍，三斗是一石的0.3 倍，二石五斗是一石的 2.5 倍，故相应的价也得是 5 倍，0.3 倍，2.5 倍了。

乘法如何计算，也是诸君所熟知的，今但举例说述于次：

[例 1]求 357×148．

算草

〔说明〕

如左侧所示，看作各位先各自乘了而再加合的。

[例 2]593000×2700．

算草

〔说明〕先看做 593×27=16011，再加上被乘数和乘数后面所有的0，共五个。

[例 3]求 18.63×5．

算草

〔说明〕和加法相比较，就可知积上的小数，打得与被乘数对齐即可。乘数不只一位时，也相同。

[例 4]0.000579×35．

算草

〔说明〕同上一样，先不管小数点，在其结果上使小数点与被乘数的对齐即可。

乘数 是小数时，即某数若以 0.1，0.01，0.001 乘，就是求该数的十等分，百等分，千等分之意。

例如 53.4×0.1=5.34，53.4×0.01=0.534，0.42×0.1=0.042，75×0.001=0.075．

所以某数以 0.1，0.01，0.001 乘，就只要把被乘数的小数点的位置（是整数时，可看做右端有小数点），向左方移动一位，二位，三位即可，若被乘数的数字已缺，则在左端补以适当的 0。

[例 5]35.874×0.015．

算草

[例 6]1.325×3.74．

算草

答：4.9555．

〔说明〕用小数及带小数乘时，可先不管到小数点而行乘法，再在结果上记小数点，其位数是等于被乘数与乘数的小数部之和。此时如积的数字不足，则在其左方加适当的0。

用 1 及 0 乘的意义

（第一）任何数用 1 乘等于原数。

例如3×1=3，1.7×1=1.7．

（第二）任何数用 0 乘等于 0．

例如3×0=0，5.9×0=0．

若干数连续相乘所得的结果，叫做连乘积。

例如2×3×4×5=120．

普通把 2，1 得 2；3，1 得 3；3，2，得 6……等省略去，而实际只用45 个呼声，余的36个不用到。但最好不要省略，而八十一个呼声全用。因为如 38472×6 如只用45 个呼声则先是二六十二，六在后，次则六七四十二，六在前，再次四六二十四，六又在后，再次六八四十八，六又在前，再次三六十八，六又在后，这样乘数的呼出忽前忽后，很易使脑筋疲劳而计算弄错的，所以有了六八四十八。还要有八六四十八等的口诀，也得习熟，则乘法可以精熟敏捷了。

那么 120 就是 2，3，4，5 的连乘积。

在乘法中，可不分别乘数与被乘数，而都叫做是积的因数。如 3×4=12，就可以说3 和4 是 12 的因数，又如 2×6=12，故 2 和 6 也是 12 的因数。

又如 2×3×4×5=120，则 2，3，4，5 等都是 120 的因数。

在算学中，无论那个整数，至少有二个因数，因为任何数用 1 乘等于原数，所以我们也可以把任何数看成该数和 1 的积，所以 1 和该数，即是原数的二个因数。

在连乘积中，倘使各因数是同一时，即说同一数连乘若干次时，特别叫做乘方。

例如 2×2=4，叫做 2 的二乘方（或二次方）或平方。

2×2×2=8，叫做 2 的三乘（或次）方或立方。

2×2×2×2=16，叫做 2 的四乘（或次）方。

凡有若干个同数相乘的，即叫做几乘（或次）方。

在这里为免去连记若干个同样的数的相乘之繁，用一种特别的记法。即

2×2 记作 2 ² ，2×2×2 记作 2 ³ ，2×2×2×2 记作 2 ⁴ 。

凡有几个同样的数相乘，即于该数的右角上记上这个小数字，这叫指数。指数是指明这个数的几次的连乘的。

乘法的检算可以把乘数被乘数交换了位置而算一遍。倘使乘数极简单时，则用乘数把积除，看其结果与被乘数一致否。

[例]

检算还有九减法也可以用，以后会讲到。

习题 4． ^[1]

求下记各式之积：

1．6714×725．2．64795×6247．

3．76459×4458．4．3.1416×785．

5．142857×5234．6．3.4561×24.3．

7．0.281×0.07147．8．1020304×2030405．

9．23×34×45．10．9.37×3.76×6.05．

[1] 习题 4 的答数也不揭出，学者须行检算，到自己确信了不错为止。除法的符号作÷，有时嫌其烦复，则用一划横线以代之，但其时须写除数于横线之下，被除数于横线上，如 120÷15 记作 或用斜线，则记被除数于前，除数于后作 120/15。被除数，除数，商的关系1．被除数÷除数=商（整除时），被除数=除数×商。2．被除数÷除数=商+剩余/除数，被除数=除数×商+剩余。 Pgn/Lozd5zGYZnBwQZ15e12Pn/Uhbg4QY2o9h+CEcwBROYPntdnFtGhBg7CrjB8B