第六节
乘法除法的简捷算法

在学乘法除法的简便算法之前，先得熟练以一位的数来乘及除的计算。此种练习，可先任意取一数顺次以 2，3，4，5，6，7，8，9 去乘，再把其结果以 2，3，4，5，6，7，8，9去除。例如取 27 一数作此种练习如次：

先记 27 一数，于其右引一纵线，顺次记着 2，3，4……9 的乘数，把27×2 的结果54记在 27 之下，54×3 再记在 54 之下。如次乘到了 9 得 9797760。

再于左方引一纵线，仍直写 2，3，4……9 等于数，再把余的结果，逐一记在原数下面到用 9 来除之结果，一定等于本来的数 27，这成了自然的检算，倘结果不对了，或中间数发生除不尽了的数目，那一定有了算错的地方。

现在再来讲乘法和除法的简捷算法，我们用了例子来一一说明。

[例 1]3928×5=19640。

5×2=10，故要倍某数，是可以把此数 10 倍再用 2 除的（或先用2 除之再倍亦同）。3928的左方不必写除数出来，就用 2 除即可，用心算很易求得。

[例 2]4832÷5=966.4．

5×2=10，故以 5 除某数，是可以把 10 除此数再 2 倍之（或先 2 倍之再用10 除亦用）。至用来乘的数 2，自然不必写出的。

[例 3]2.71596×25=67.899．

因 25×4=100，故 25 乘某数，是可以把此数 100 倍了再用 4 除（或先用4 除了再乘100亦同）。

[例 4]68075÷25=2723．

某数用 25 除，可以先用 100 除了再 4 倍之（或先 4 倍了再用 100 除亦同）。

[例 5]0.7854×125=98.175．

因 125×8=1000，故 125 乘某数，是可以把此数用 1000 乘再用8 除之（或先用8 除再1000 乘亦同）。

[例 6]0.61725÷125=0.004938．

某数用 125 除，可以先用 1000 除了再 8 倍之（或先 8 倍了再用1000 除亦同）。

[例 7]5928×99．

因为 99=100-1，故某数乘以 99，可以从该数的 100 倍中减原数而得。

[例 8]3.14159×999=3141.59-3.14159．

因 999=1000-1．

[例 9]8923×997．

997=1000-3，所以某数的 997 倍，是可以从该数的 1000 倍减该数的3 倍而得。8923×3=29769，可以用心算求得而记于 8923000 之下。

[例 10]78926×495．

因 495=500-5．用心算求 78926×5=394630．

（参照例 1）

[例 11]78926×597．

597=600-3，所以先用心算求 78926×6=473556，其次的78926×3=236778，也可利用前的473556 用2除而得。

（甲）先用 8 乘 85014，得 680112，次求 85014×72，因为 72=8×9，故可利用已得之积而乘以 9，即得 6121008，依上相加即可。

（乙）则先用 7 乘，再利用 7 乘得之积，因 28=7×4，故再用 4 乘。

[例 13]78926×72864．

因 64=8×8，72=8×9，故先求 78926×8=631408，次记 631408×8，即78926×64，又次记 631408×9，即 78926×72。

[例 14]8450980+（4771213×3）．

用 3 乘下数一位，随即加同位的上数。

[例 15]28450980-（4771213×4）．

用 4 乘下数，每位即从上数减去。

[例 16]8568÷63．

除数容易分成一位的因数之积时，可以用因数连除。

[例 17]10547÷24（到小数二位）。

每次的除也到小数二位即可。

[例 18]57124835÷3000（求整商及剩余）。

57124835 及 3000 各以 1000 除之，为 57124.835 及 3 而相除，商是不变的。

又 57124 用 3 除有剩余 1，故 57124000 用 3000 除有剩余 1000 也一定的。故57124835以 3000 除有剩余 1835。

[例 19]20735÷42（求整商及剩余）。

3455 用 7 除余数是 4，而 20735 之有六个 3455 和余数 5，故剩余的总是六个4 及5 之和。

[例 20]191103095÷288（求整商及剩余）。

整商 663552，剩余（3×8×4）+（5×4）+3=96+20+3=119．

[例 21]47712÷99．

把 477 分为 400 与 77，故 477 中有 4 个 99，4 个 1 和 77，故 477 用99 除得商4，而余数为 77+（1×4）=81，因而实际上，可以看做用 100 除而得商，再在余数中加入此商之数，即 77+4=81（不必加一般除法的把 4×99 写出来，记下余数即可），次（811 以10）除得商8，在余数的 11 中加 8 为 19，次 192 以 100 除得 1，而余数的 92 中加1 为93，此为最后之剩余。

[例 22]2958634÷999（到小数二位止）。

以 1000 除 2958 则得商 2，余数 958，故以 999 除得商 2，余数958+2=960，以下可以同样计算。答数为 2961.59。

[例 23]47712÷98．

477 之中有四个 100 和 77，即有四个 98，四个 2 和 77。故 477 用98 除，得商4，余四个 2 和 77，即 77+（2×4）=85。实际上可以用 100 除了，再在余数加商的2 倍之数。即以100 除 477 得 4，而余数 77 中加 4×2 即为 85。其次以 100 除 851 得8，而于51 中加8×2即为 67。次以 100 除 671 得 6，而于 72 中加 6×2 即为 84，此是最后的剩余。

[例 24]4687÷997（到小数三位）。

先以 1000 除 4687，得商 4，余数为 687+（4×3）=699．同样以1000 除6990，得商6，余数为 990+（6×3）=1008（甲）。到了此地知道余数比商大，还可以用997 除而生1 的，故划去了上面的 6 而改作 7。余数是 8+3=11。不过此种计算如练熟后，会知道1000 除6990生商 7 只缺少 10 而生商 7 后所有的余数为 7×3=21，所以去了不足的10，还有11 的余数（算草乙）。次以 1000 除 110 是商 0，又 1000 除 1100 得商 1，余数是 100+3=103，这是最后的剩余。

[例 25]153267÷596．

1532 中有二个 600 及 332，即有二个 596，二个 4 及 332。故 1532 以600 除之，得商2，而于 332 中再加以 4×2=8 得 340，此即示 1532 以 596 除以之剩余。次3406 以600 除得商5，在其余数 406 中加以 5×4=20，得 426。次 4267 以 600 除得商 7，余数67+（7×4）=95，此即 596 除 153267 之剩余。以上的计算均须由心算算，否则此种简便法，亦无甚可利用。

习题 6．

用简便法计算次题：

1．3729×9．2．8326×99．

3．4278×97．4．3517×11．

5．1753×101．6．7751×1003．

7．18.76×5．8．5.32×25．

9．47.8×125．10．6.82÷5．

11．35.1÷25．12．12875÷125．

13．472850×54918．14．58.327×21318．

15．7.17123×56749．16．56.875×24832． 928wJrKV8a5K7nsuz5RZQZiLtw2Ac/x18ptmRmRUlnqSRWpVafFXQcLgcBknbH91