第二节
平行线

76．在第一节中，我们已说述了若干关于三角形的事项，但三角形的研究，并非尽于此。不过要再进而研究三角形的性质，非得先学习关于平行线的知识不可，现在先就平行线的性质讲述一下。

平行线一语，普通也常常用到，但其意义并不明了，其在几何学的意义，则如次记的定义。

定义在同一平面上的二直线，向双方无论如何延长，永不相交者，叫平行线。

表平行用记号∥。例如 AB ， CD 二直线平行，则以 AB ∥ CD 表之。

77．如下图，一直线 TS 与其他多数之直线 AB ， CD 等相交，此 TS 叫做 AB ， CD 等直线的截线。

定义与一组的直线相交的一直线，叫此组直线的截线。

二直线 AB ， CD 与一截线 TS 相交时，于其二交点生八角 s ， t ， u ， v ， w ， x ， y ， z 。此等各角因其所在及位置的关系，有如次记的各种名称。

（1） t ， u ， x ， w 的四角，均叫内角。

（2） s ， v ， y ， z 的四角，均叫外角。

（3） t 和 w ， u 和 x 的二组，互叫错角。

（4） v 和 w ， s 和 x ， u 和 z ， t 和 y 的四组，互叫同位角。

78．预备问题画相交的三直线如下图，问 a 的理由如何？

设想 FD 绕 F 点依矢的方向而回转，其时 β 渐次增大，可以大到大于 的，所以在其中间必有一位置怡是 β 与 相等，其时， EB ， FD 得相交否？

定理 8．二直线与其截线所成的错角相等时，此二直线平行。 ^[1]

二直线 AB ， CD 与截线 TS 相交于 E ， F 二点，若其所成的错角 x ， y 相等，则 AB ∥ CD 。

证明设 AB ， CD 不相平行，则 AB ， CD 必有相交之一点，设此点为 K ，则 EFK 为一三角形。今设 K 点在 EB 之延长上时，则∠ x 是△ EFK 的外角，因之∠ x ＞∠ y （定理7），此与假设不合。

又若 K 在 EA 之延长上时，则与前相反为∠ y 为△ EFK 的外角，故∠ x ＜∠ Y ，此亦与假设不合。

故∠ x =∠ y 时， AB ， CD 不能相交，即 AB ∥ CD 。

【系 1】二直线与其截线所成之同位角相等时，此二直线平行（何故？因此时，其错角必是相等的） 。

【系 2】二直线与其截线所成在截线同侧二内角之和，为二直角时，二直线平行。

【系 3】垂直于同一直线之二直线，平行。

79．证明上定理 8，所用的证明法，叫归谬法，是和以前所用的方法不同，大家一看就明白的。一平面上的二直线，逃不出平行或相交的关系，且不相交则平行，不平行则相交。因之若能证明二直线相交是不对的，那么二直线平行一定是对的了。就是证明一切反对陈述的终结的论者，全都谬误，则其终结成立，自不待言。一般，先假定终结不成立，则有与假设相反的结果发生，或达到与既知的定理或公理相反的结论，以证明其终结的为真理，这种证明定理的方法，叫归谬法。通常我们在推理时，也有用这种方法的，例如因石的吸引磁石而推定此石的含有铁质，反对一个人的主张 60 是4 的 18 倍，而把 4×18 的结果算给他看等等都是。

80．应用定理 8，可以解次记作图题。

作图题过一直线外之一点，引此直线的平行线。

CD 是定直线， E 是定点，不在 CD 上，今求过E引一直线与 CD 平行。

解法过 E ，任意引直线 EF ，与 CD 之交点为 F 。

这作图题，又可以三角板和直尺解之，即先沿 CD 而放下三角板的一边，再沿三角板之他边放置直尺（看上图） ^[2] 。

次固定直尺，使三角板沿其边而移动，本来靠贴 CD 的边，推到通过 E 的位置，即沿此边引 AB 直线，便合所求（其理由如何？可各自证明之）。

81．由前条作图题的结果，过一直线外的一定点，引此直线的平行线，一定可以引的。但这样的直线，依我们的经验，只限于一线而不能多于一。

公理 过一直线外的一定点，所引此直线的平行线，有一而限于一。

这叫做平行线的公理。

82．预备问题说出定理 8 的假设和终结来。再把他倒一转，以原终结作为假设，原假设作为终结，而造成一新定理，试以实验或推理研究此定理的成立否。

定理 9．二平行线与其截线所成的错角相等。

二平行直线 AB ， CD 与截线 TS 交于 E 及 F ，所成错角为 x 及 y ，求证∠ x =∠ y 。

证明设∠ x 不等于∠ y ，则过 F 点可以另引一直线 CD ，使∠ EFD=∠ x ，此时 ∥ AB （定理 8）。

但依平行线公理，过 F 点而平行于 AB 的直线，只限于一，因之 CD 不能平行于 AB ，此与假设相反。

故 AB ∥ CD 时，必然 。

【系 1】二平行线与其截线所成同位角相等。

【系 2】二平行线与其截线所成在截线同侧二内角之和为二直角。

【系 3】于二平行线得引其公垂线。

83．比较定理 8 及定理 9，可知一方的假设和终结，恰好就是他方的终结和假设。这样的二个定理，即第一定理的假设是第二定理的终结，第一定理的终结是第二定理的假设时，这二个定理，各为他定理的逆定理（或单称逆），也可说二定理互为逆定理，例如前述的定理 3 和定理 4，也是互为逆定理的。

但一定理是真的（即合理的），这定理的逆，未必一定成立。就次例即可明白。

又如说木造的船浮于水面。这是完全不错。但他的逆：浮于水面的船都是用木造，便不成立，因为军舰、轮船等是用铁造的。

所以，对于一定理的逆的成立，仍要证明。

84．预备问题引平行于 XY 的二直线 AB ， CD ，试查 AB ， CD 二直线平行否？又以归谬法证明之。

求证 AB ∥ CD ．

证明假定 AB ， CD 二直线不平行，则必有相交的一点 K 。这时变成达到了于 AB 外的一点 K ，可以引二直线平行于 XY 了，此与公理不合，即 AB ， CD 不得相交，故 AB ∥ CD 。

85．预备问题任意画一角，次作二边与此角二边相平行之角，问这样的角有几？并比较其大小。

定理 11．一角之二边各与他角之二边相平行，此二角相等，或互为补角。

因之可以说，二角之二边各相平行，其二边各为同方向或反方向者，此二角相等；若有一组的边为同方向而他一组为反方向者，则二角互为补角。

练习问题

1．二平行线与一截线所成之错角，有次记诸值时，求他角之大小：

（a）73°12′，（b）45°13′，（c）112°43′．

2．垂直于 XY 的直线 AB ，与斜交于 XY 之直线 CD ，得平行否？

3．二平行线与其截线所成二错角，其二等分线平行，试证明之。

4．垂直于相交二直线的二直线亦相交，试证明之。

5．于二平行线各引一垂直线，证明此二垂直线亦平行。

[1] 二直线的平行，是一种位置关系，是相互的，AB平行于CD，同时CD平行于AB； AB ∥ CD 是表着这二种意思。

[2] 于一直线之一点，作一角与已知角相等的作图，前已说过其可能了。在这图中，把三角板的边CD，AB看做与直尺的边相交的，则同位角相等，故 AB ∥ CD 。 F7/g1Xz2OUkDM+Q69NJ1wyOKI0vvi+Iek5Io70XJV3hELDxJTZQrfEE4tJNw+lKu