第一节
三角形（1）

60．复习问题问次记各名词之定义？——多角形，三角形，多角形的边。

围成多角形，至少须有三线以上之直线，所以三角形是多角形中的顶简单的。关于三角形的各种性质，又是几何学的基础，而且在实际上的应用，也极广大，现在先来讲述。这是很重要的，须得留心学习，几何学的能否精熟，差不多就在这里。

定义三角形二边所成的角，名其内角，或单称角，一边和其邻边的延长所成的角，名其外角。

如右圆， 是内角， 是外角。

在一般的多角形，也用同样的名称。

三角形的三边和三内角，叫做三角形的六要素。

表三角形用记号△ 。如三角形 ABC 即以△ ABC 表之。

边 BC 和∠ A ，边 CA 和∠ B ，边 AB 和∠ C 互称为相对，即 BC 是∠ A 的对边， ∠A 是 BC 所对的角，余做此。有时 BC ， CA ， AB 各以其所对角所附记文字之小写 a ， b ， c 表之。

61．预备问题（a）作三边各为 7 分的三角形。（b）作二边各为 6 分而第三边为4 分的三角形。（c）作三边为 3.5 分，6 分，8 分的三角形。

三角形依照其边的大小关系，可以分别如次：

（a）是三边都相等的，

（b）是三边中有二边相等的，

（c）是各边都不相等的。

定义（a）三角形的三边都相等的，叫等边三角形。

（b）三角形中有二边相等的，叫等腰三角形或二等边三角形。

（c）任何二边均不相等的三角形，叫不等边三角形或斜三角形。

62．预备问题（a）作二角各为 60°的三角形而测其第三角之大小。（b）作二角为75°，45°的三角形而测其第三角之大小。（c）作一角为 120°的三角形。（d）作一角为直角的三角形。

三角形 依照其角的大小关系，可以分别如次：

（a）三角都相等，

（b）三角都是锐角，

（c）有一角是钝角，

（d）有一角是直角。

定义（a）三角都相等的，叫等角三角形。

（b）三角形的三角都是锐角的，叫锐角三角形。

（c）三角形有一角是钝角的，叫钝角三角形。

（d）三角形有一角是直角的，叫直角三角形。其直角所对的边叫斜边，或弦。直角的夹边叫句、股。

63．在算术里已经说到过的名词，三角形的底边和高，有怎样的意义，看了次记的定义，可以更加明白。

定义三角形 中的一边，可以叫做底边，其时底边所对的角，就叫做顶角，在底边两端的角，叫做底角。顶角的顶点，叫三角形的顶点，顶点到底边所引垂线的长，叫三角形的高。

但在二等边三角形，则常以其不相等的边为底边。

在图中，如以 BC 为底边，则∠ A 为顶角，∠ B ，∠ C 都是底角而 A 是顶点， AD 是三角形的高。

64．在§34 中我们说过，能使之相叠合的二圆，叫全等的圆，在三角形，也是这样的。

定义一三角形和他一三角形相叠合时，能使之全相合者，这二三角形叫全等。

在一般的平面形，这定义同样可以适用。即两形能使互相叠合，恰巧相合时，两形是全等。

如用纸二张叠合而翦出二三角形来，则是两个全等的三角形，如次图：

所以在两个全等的三角形中，相等边对相等的角，又相等角对相等的边，是须注意的 。

表全等用记号 或 ，例如△ ABC 和△ DEF 全等，则记作△ ABC △ DEF 或△ △ DEF 。

判定在何种情形之下，两三角形是全等的，是几何学上极重要的事项。关于此等事项的定理，叫三角形的全等定理。

以下对于此等定理，将依次说到，学者须留心习之。

65．预备问题作二边为 5 分和 8 分，其夹角为 35°的两三角形。切取其中之一而重合到他一三角形上去，看是否能完全叠合？其叠法如何？因此可以猜想得怎样的全等定理。

定理 1．一三角形的二边和其夹角，与他三角形的二边和其夹角，各各相等时，则两三角形全等。

在△ AB C ，△ FGH 中，设 AB = FG ， AC = FH 及∠ A =∠ F 时，则此两三角形可以全相叠合，即△ ABC △ FG H ．

因 AB = FG ，故把 FG 叠合到 AB 上去，使 F 点重合于 A 点，而△ FGH 放置在△ ABC 之上，且使两三角形在 AB 之同一侧，此时，因∠ F =∠ A ，所以 FG 必沿 AB 而落下。又因 AC = FH ，故 H 点即落在 C 点上，因之 GH 和 BC 全相叠合。这时两三角形的三边全相叠合了，即两三角形完全叠合．

因之△ ABC △ FG H ．

练习问题

1．设线段 AB 的中点为 O ，于 O 点引 AB 的垂线 OC ，于 OC 上取一点P。测 PA ， PB ，则可知此二线段之长相等。试证明此定理。

像这问题中的 OC ，是过一线段的中点而又是其垂线，叫做该线段的垂直二等分线。即上题的结果，也可以陈述如次：

一线段的垂直二等分在线的点，与此线段的两端点的距离相等。

2．欲知二点 A ， B 间的距离，设其间有障碍物不能直接测得时；可照次法求之。

先在适当的地方取一点 C ，测 AC ， BC 。其次延长 AC ， BC ；而于 AC 之延长上取 CD = AC ， BC 之延长上取 CE = BC 。再测 DE 。其时 DE 之长与 AB 的距离相等。其理由如何？

66．预备问题作一边为 1 寸，而其两端的角为 35°及 100°的两三角形。剪出其一，叠合于他形上而观察之，能全相重合否？其叠合的方法如何？因此可以预想得怎样的一个全等定理？

定理 2．一三角形的二角和其顶点间的边，与他三角形的二角和其顶点间的边，各各相等时，则两三角形全等。

两三角形 ABC ， FGH 中，设∠ A =∠ F ，∠ B=∠ G ， AB = FG ，则两三角形可以至相重合，即：

△ ABC △ FGH

因为 AB = FG ， 故把 F 点放在 A 点上，使 FG 叠合于 AB 上，使△ FGH 重合于△ ABC 上，而且使两三角形在 AB 的同侧。这样因∠ A =∠ F ，故 FH 沿 AC 而落下，又∠ B =∠ G ，故 GH 沿 BC 而落下，因之 H 点与 C 点相重合，A C 与 FH 相合， BC 与 GH 相合，因而△ ABC 与△ FGH 完全相重合，即△ ABC △ FG H 。

练习问题

1．在右图中， I 是 GH 的中点。若∠ G 和∠ H 都是直角， KL 为过 I 点之一直线，则 GK = HL ，试证明之。

2．古昔希腊有几何学者泰勒斯（Thales，640-546B.C.）曾利用这定理 2 以求海岸上的一点 A 和船 V 的距离，其方法：

先于海岸上取一点 B ，测 AB 的距离及二角∠ u ，∠ v （从二点望与AB所成之角）。次于海岸上作直线与 AB 所成之角为∠ x=∠ u ，∠ y=∠ v 。设其交点为 X ，则测 AX ，即可得所求的距离。其理如何？

67．预备问题任意画一二等边三角形，次切取之，翻一转身，而放原来的位置里，仍吻合否？由此求二底角的大小。

定理 3． ^[1] 三角形二边相等时，其相等边所对角亦等。

三角形 ABC 中， AB = AC ，试证明∠ B =∠ C 。

作与△ ABC 全等的三角形 ，而设 AB = ， AC = ， ∠A = ．

今把△ 翻身而叠合到△ ABC 上，使两三角形在 AB 的同侧，把 放在 A 上使 沿 AB 而落下。此时因 =∠ A ，所以 沿 AC 而落下。

又因 ∠ A B ， ∠ A C ，故 落在 B 上， 落在 C 上。

68．次定理可以直接由前定理道出。

【系】等边三角形的三内角相等。

这样由某一定理可以直接立刻导出的，叫做该定理的系。

练习问题

1．试实际作图，以比较二等边三角形底边的两端与其对边中点的联结线段的长。其结果如何？并证明之。

2．试实际作图，以比较二等边三角形二底角的二等分线起于其所对边的线段之长。其结果如何？并证明之。

69．预备问题任意作有二角相等的三角形，次切取之，翻身而放入原来的位置，能全吻合否？由此以考查等角所对二边的大小。

定理 4．三角形二角相等时，其相等角所对边亦等。

由上定理立即推得：

【系】 三角形三角相等时，此三角形为等边三角形。

70．看以前所证明的定理，都是由二部分所成，例如

都有（一）及（二）二部分。别的定理也大抵有由这样的二部分构造的形式。前一部分是说出“假使怎样……”先在图形中规定了条件，这叫做定理的假设。后一部分是说在那个假设之下，可以成立的事项，叫做定理的终结。

证明定理，就是由这定理的假设，根据了已知的公理和定理，演释地导出那个定理的终结来，要其间绝无一点疑问，谁都可以首肯的。在证明时，先画与定理相应的圆形，而附以符号文字，次就图形述假设及终结，以说明定理的意义，然后应必要而作补助线等，再移到证明的步骤。

练习问题

1．指出定理 2 及定理 4 的假设及终结。

2．假设和终结；在几何学以外的事实的陈述中，也常有。试就次记各陈述，指示其假设及终结：

（a）人若犯罪应受罚。

（b）比水重的物体沉于水中。

（c）凡人皆有死。

（d）善有善报，恶有恶报；倘若不报，时辰未到。

3．各自作与题 2 类似之陈述若干条，且述何者为假设，何者为终结。

71．预备问题任意作一二等边三角形，引其顶角之二等分线。因此而成之两三角形，有何种要素相等？二等分线与底边所成之角如何？二等分线与底边的交点是底边中点否？

定理 5.二等边三角形顶角的二等分线，垂直于底边上且二等分之。

设△ ABC 为二等边三角形（ BC = AC ），线段 CK 为顶角 C 的二等分线。

又 CK 是两三角形公用的边（这样的边叫公边）。

因之在这两三角形中，有二边和其夹角相等。

【系 1】二等边三角形顶角的二等分线，分此形为全等之二直角三角形。

【系 2】二等边三角形，顶角的二等分线；从顶点所引底边的垂线；顶点和底中点的联结线；三直线合一。

【系 3】二等边三角形底边的垂直二等分线，二等分其顶角。

练习问题

1．三角形顶角的二等分线，垂直于底边时，此形为何种三角形？

2．于任何三角形中，顶角的二等分线，和从顶点所引底边的垂线，能合一否？

72．从定理 5 系 1，可知以二等边三角形顶角的二等分线为折痕，而折叠之，则其两部分，完全相合。因此，二等边三角形于其顶角的二等分线为对称。

定义以一直线为折痕而折叠一平面形，其两部分若完全相合，则此图形可叫做于该直线为对称的图形，此直线叫对称轴。

例如，圆于其直径为对称，而直径是圆的对称轴。

练习问题

1．一线段的两端，于其垂直二等分线为对称，试证明之。

2．于自然界或人造诸物体的表面，有于直线为对称的平面形，试举其例。

73．预备问题任意作一三角形，次作三边各与此形之三边相等之三角形，测两三角形各角而比较之，因此可以预想得怎样的全等定理。

定理 6．一三角形的三边与他三角形的三边，各各相等时，则两三角形全等。

证明取△ FGH 使与△ AB C ，把边 FG 和边 AB 叠合，使 H 点和 C 点在 AB 的相反对的一侧。设 H 点所落下之处为 K ^[2] 。

练习问题

1．取与 A ， B 点为等距离的 P 点，联结 P 和A， B 的中点 C ，证明 PC 为 AB 的垂线。由此以导出次定理。

与二点为等距离的点，均在此二点的联结线段的垂直二等分在线上。

2．不用分度器，二等分一角 ABC 的方法如次：

先以角顶 B 为中心，以任意的半径画圆，此圆与角的二边交于 L ， M 二点。次以 L 及 M 为中心，以同半径画二圆，设其交点为 G 。联结 BG ，则 BG 二等分角 ABC 。试证明之。

74．预备问题三角形有几外角？各外角有几不相麟的内角？

定义不邻接三角形的一外角之二内角，均称为此外角的内对角。

75．预备问题任意作三角形，取其一外角而比较外角和各内对角的大小（用分度器或各自用特别方法均可）。

定理 7．三角形的外角大于其任何内对角。

证明 设边 BC 的中点为 E 。联结 AE ，延长之。于其延长上取与 AE 相等之 EF ，联 BF 。

练习问题

1．右图中， AC BC ，试想像 AB 依照矢的方向，绕 A 点而回转，则∠ ACB 与∠ A 之差，如何变化？又其差有为 0 的情形否？

2．一三角形内得含有二直角否？

3．一三角形内得含有二钝角否？

[1] 定理 3 的陈述，也可以写做二等边三角形之两底角相等。 A 读作A dash或次A，或A prime。

[2] A和K的联结线，不一定是通过A和B的中间，可如次图，恰过A（或B）点，又或在二点的外侧，AB与CK不相交。但那个结果的， 是始终不变的。因在CK过A点时， CK与AB又不相交时，则 ，其结果亦同。 zdFfIt80b+1qAg1cghJVOS6mXdbpkGw327HJdaRXR12NAWcnucFy2PHYHzXT8YsO