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57．复习问题（a）几何学是什么？即问几何学研究什么的？（b）说明立体、表面、线及点的意义。（c）什么是图形？
如在本篇开始时所述，几何学是研究关于物体的形状、大小及其位置的诸种性质的科学。物体，只就其形状、大小着想时便得着立体、表面、线、点等等图形的思想，也已说明过了。这样就可以说：
几何学
是论究图形的性质的科学。
论究平面上所有的图形的性质，叫平面几何学。论究空间所有的图形的性质，则是立体几何学。
我们将于次讲述平面几何学及立体几何学。
58．古代的巴比仑人和埃及人虽已有关于图形的种种知识，然不过是由于房屋的建筑，田野的测量，星辰的观测等等经验所得的断片知识，不能构成一种科学。到了希腊时代，始有人把此等知识，整理起来，附以系统，以若干经验的事实为基础，而想由此等事项去导出关于图形的诸性质，这是几何学的萌芽。
现在我们所学的几何学即是从希腊时代产生的几何学。故论究关于图形的诸性质时；不能满足于只就实验、观察所确定的结果，必须要把这些归纳到更根本的事项而加以证明。
因之可以作为证明基础的事项，势必不能再由别的事项去证明，只能由直观和经验可立即决定其为真理的。于此等事项中选择若干，叫做公理。
今举公理
的重要者如次：
I．等于同一个量的各量相等。
II．等量加以相等的量，其和相等。
III．等量减去相等的量，其差相等。
IV．全量比其一部分为大。
特别关于几何图形的公理，是：
i．图形可不变其大小形状而变其位置。
ii．能使全相合的二图形，大小相等。
iii．过二点的直线有一而限于一。
在这里以前，本篇中曾由实验知道许多事项，严密说来，不能说都是公理，就是非经证明，不能无条件承认其为真理。但我们很知道这些事的确为真理，所以也不再求证明，将于次篇以下即将此等事项和其他公理为基础，由推理而求新的真理。这些新的真理，叫做定理。
定理是由公理及公理所导出的事项所能证明的真理。
59．用直线所围成的平面形叫多角形。这是多角形的定义。联结多角形不相邻二顶点的直线叫对角线，是对角线的定义。
定义是规定用语（术语）的意义的陈述。
在研究一切科学学术时，不确定其用语（术语）的意义，便有发生种种纷乱的危险，故在一切科举上，都先规定用语的义意。几何学也是如此，把定义和公理作为研究的出发点。
杂问题
1．问次记用语的定义：
平面形，圆，圆周，平角，直角，垂线，对顶角，锐角，钝角，余角，补角。
2．述圆的重要性质。
3．说明角的大小和其边的长短无关。
4．问次记方向间的角：（a）北和北东，（b）北和南东，（c）北和南。
5．分圆周为四、八、十六等分。
6．于次记各时刻，时钟的长短针间的角度如何？（a）一点二十五分，（b）二点三十分，（c）四点四十五分。
7．某人向北走 1 里，向左转 45°又走 2 里，再向右转 75°走 3 里，今以 5 分代表 1 里作此人所行路的略图，若欲走回原出发点，须转若干度，直行几里？
8．某人欲测一河面的阔 AB ，从 A 沿河岸走了 50 丈，到 C ，测得∠ AC B =36° ，试作适当的缩图以求河的阔。
