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算学之哲学，有一大部分研究“关系，”并且各种不同的关系有各种不同的用处。同一性质，往往各种关系皆具有之，而只在某几种关系上为重要，在其余则不重要；这种地方，读者若非先知在哪些关系上某一性质为有用，遇见叙述该性质的命题，便不能知该命题价值若何。因为这种缘故，又因为此种讨论本身也有价值，所以我们最好先将算学上较为合用的关系，在心里粗粗立下一个表来。
上章我们已经讲到一种非常重要的关系，叫做属关系（Serial relations）。属关系必定具备的三种性质——偏称性（Asymmetry，）传递性（Transitiveness）结合性（Connexity）——各有各的独立的重要。现在先就这三种性质讲一讲。
偏称性就是不可逆性，很重要而且很有趣味。要知道他的功能，试多举几个例来说。“夫”，“妇”这两国关系都是偏称的；若a为b夫，则b不得为a夫；“妇”也然。“伉俪”关系却是对称的；若a为b之伉俪，则b也为a之伉俪。设有“伉俪”关系，我们要由他推出“夫”的关系来。夫就是“男性伉俪”或“女子的伉俪”；所以我们若将关系界限于男子或将被关系界限于女子，则“夫”的关系就可由“伉俪”关系推出来。从这例可以知道，若有了一个对称关系，我们有时可以凭借别种关系的帮助，将他分作两个对称关系。但是可用这分法的例不多，并且都是些特别的：必需关系场可以划分为无公用项的两类，如α及β，每两项间有该关系时，必一项属于此类α，一项属于彼类β——例如二人有伉俪关系，必一属于男类，一属于女类。在这种地方，关系界限于α被关系界限于β的关系，便是一种偏称关系，关系界限于β被关系界限于α者也然。但是这种例，与我们研究多于两项的的时候所遇见的例是不同的；因为中除首末两项（如其有之）以外各项都可算属于发生此之关系界，也可算属于被关系界，所以像“夫”的关系其关系界与被关系界不相搭杂的，不可拿来与这种相提并论。
有的关系具有一处很有用的性质，有的关系仅具有这性质的雏形（还没有成）。怎么样用一个仅具某性质初形之关系，加以推演，造成一个具此性质之关系，也是一个需要研究的问题。传递性及结合性；在许多地方原设的关系虽不具之，却很容易构成：设R是已知之关系，不管R传递不传递，那个由R用普遍归纳法推出来的先宗关系，总是传递的；并且祇要R是多对一的，就某项之后裔范围以内而论，那个先宗关系总是结合的。但是构成偏称关系，却难得多了。上段所说由对称关系“伉俪”推出偏称关系“夫”那个方法，在“较大”，“居前”，“在右”等关系上，其关系界与被关系界互相搭杂，是不能用的。在这些地方，我们固然可将每关系及其逆关系加起来构成一个对称关系，但是不借助其他偏称关系，便不能从这构成的对称关系重新回到原来的偏称关系。拿“较大”做个例罢：“较大或较小”——即“不等”——是一个对称关系，但是这个关系本身上绝没有什么可以显明他是两偏称关系（“较大”及“较小”）之和。试把这种关系当作“形状不同”看待。这也不是任何偏称关系及其逆关系之和，因为形状不能作成；却是将他与“数量不同”比较着看，若不是先知道数量有较大及较小的关系，简直没有理由说“形状不同”与“数量不同”有什么区别。这就足以说明偏称作一种关系的性质其基本性是怎样了。
从关系的分类看起来，偏称性比之际异性重要得多。偏称关系不必示异，示异关系未必偏称。例如“不等”就是一个示异而不偏称的关系。泛言之，我们要力求将一个关系的命题（如某对某有某种关系）变做一个有谓语叙述主司的命题（如有某关系之两项为如何之两项），这种事在对称关系范围以内，我们总可以说是能够做得成功的：对称关系不示异的，如果传递，我们便可看作是叙述公共的谓语；对称关系示异的，如果传递，我们便可看作是叙述不相容的谓语。试以“两类之相似”，我们前章藉他界说数的，为例来说。这关系对称，传递而不示异。一类之数可以看作是该类的一个谓语，不过其方法不如我们所用的简易罢了：两个相似的类，就是两个同有一数的类，两个不相似的类，就是两个不同有一数的类。这样将关系变为谓语的方法，虽然往往不很便利，只要有所研究的是对称关系，总是形式上可能的事。但在关系偏称时，变形时的不可能，因为谓语等与谓语不等，两者都是对称的缘故（如“a较大于b”这偏称关系，谓语用“等”或“不等”都不行，因为他们都是对称的）。照这样看起来，偏称关系算是各种关系中关系性最大的，哲学家想研究关系之究竟的逻辑的本性，这关系最为重要。
此外还有一种用处最大的关系，就是一对多的关系（One-many relations），即对于一定被关系项祇有一关系项之关系（包括一对一的关系）。例如父，母，夫（除西藏地方），平方，正弦，等等都是，亲（父，母），平方根，等不是一对多的。无论什么关系，想法子变成一对多的关系，乃是形式上可能的事。试以归纳数间“较小”关系为例来说。设有一数n大于 1，那么较n小的数固然不止一个，但我们却能将凡小于n的数归成一类。这类对于n之关系任何他类都不能有。我们可以用算学归纳法里所用“先宗”及“后裔”两字的意义，将小于n之数之“类”叫做n之“真先宗”。每一数n祇有一个唯一的类做他的“真先宗”，所以真先宗是一对多的关系（以后讲“一对多”常包含“一对一”而言）。那么，“较……小”这个关系就变成“为……之真先宗中一项”了。照这样，一个一对多的关系其关系者是个类，与该类之项合起来，常可以正式地替代一个非一对多的关系。裴阿诺因为某种缘故，好把关系看作是一对多，遇着非一对多的，他便用上法变成一对多。将各种关系变成一以多的关系，虽然形式上是可能的，却并不是学术上一件化复杂为单纯的事，况且我们对于类也必须看作是“逻辑的构象”，更可见这种事绝不可算是哲学的分析。所以以后我们仍把一对多的关系看作是关系的一种。
一对多的关系常常隐伏于“这一个‘……之……’”词语里面。“这一个‘英格兰之王’”，“这一个‘苏格兰底之妻’”，“这一个‘密尔之父’”，等，都是描述对于一定项有一对多关系之某人的。一个人不会有许多父亲，所以“这一个‘密尔之父’”纵然不知道是谁，但必定摹述“一”个人是无疑的。关于摹述，很有许多须要详论，但现在我们所研究的是“关系”，“摹述”与我们相关的地方，只有在他将一对多的关系的用处给我们一点例证。所有算学的从元（Function）都是由一对多的关系而生，这是应当注意的：“x之对数”，“x之余弦”，等，与“x之父”都一样的是用对于一项（x）之关系（对数，余弦，等）来摹述某项。从元（Function）这观念不必限于数，其用处也不必以算学所已令我们习惯的为限。我们可以将他推广到任何一对多的关系上，如“x之父”与“x之对数”可以一视同仁地看作是以x为主元（Argument）的从元。照这种意义的从元，名为摹述从元（译者注 1）（Descriptive function）。以后将论从元中尚有尤为普遍尤为根本的一种，叫做命题从元（Propositional function）；但是现在说的从元专指摹述从元，其形为“这一个对于x有R关系的项”，或简写为“x之R”其中的R乃是任何一对多的关系。
若“x之R”描述某一定项，则（1）必有对x有R关系者，（11）对x有R关系之项不得多于一。譬如x是亚当夏哇以外任一人，我们都可以说“x之父”这句话；但若x是桌，椅，等无父的东西，我们就不能说“x之父”了。若恰有一项，对于x有R的关系，我们就可以说“x之R”存在。若R为一对多的关系，而x属于R之被关系界，则“x之R”一定存在；否则不存在。又“x之R”既看做从元，我们借用算学之名词更推广其意义，称x为该从元之“主元”（Argument），又若y对x有R关系换言之，若y为x之R，则y便为该从元之“值”（Value）。若R为一对多的关系，则所有该从元能有的主元组成一类，就是R之被关系界；所有该从元能有的值也组成一类，就是R之关系界。例如从元“x之父”，所能有的一切主元，就是一切有父者，也就是“父”关系之被关系界，此从元所能有之一切值，乃是一切为人父者，也就是该关系之关系界。
“关系”的逻辑里有许多顶紧要的观念是摹述的从元，例如：逆关系，关系界，被关系界，关系场都是。旁的例见后。
在一对多的关系之中，又要数一对一的关系（One-one relations）特殊重要。以前我们界说数时，曾得着机会论及一对一的关系，不过他非常重要，我们须将他的观念弄熟习些，不可祇知道他的形式的界说。他的形式的界说可以从一对多的关系的界说推出来：一对一的关系，就是本身是一对多的且其逆关系也是一对多的关系，即既为一对多又为多对一的一种关系。一对多的关系原可以界说作：如果一项x对y有某关系，则必无别项x对y能有此关系。又可界说如下：设有两项x与x及关系R，若x对之有R关系之项所组成之类与x对于之有R关系之项所组成之类无公共之项，则R谓之一对多的关系。还可界说之如下：一关系R与其逆关系之“相对积”（Relative product）有全同性（即表示与本身之关系）（Implies identity）者，曰一对多的关系，此处所谓两国关系R与S之相对积RS，也为一种关系；若x对y有关系R，y对z有关系S，则x对z有其相对积RS关系（此与SR有不同处）。譬如R为父对于子之关系，假如x与z之间另有一项y，x为y之父，y为之子，则x对z之关系即x对y与y对z两者关系之相对积；x与z必定是同一个人，这是显而易见的。至若R为父母对于子女的关系既不是一对多的，那么，x为y之父母，y为z之子女，我们不能说x与z是同一个人，因为也许一个是父，一个是母，以上说明一关系与其逆关系之相对积有全同性是一对多的关系之特征。在一对一的关系，除具此特性之外，还有一个特性，就是其逆关系与该关系之相对积也具有全同性。设有一关系R，x对于y有R关系，我们为便利计可以说，y可由x顺“R方向”而达到，同样，x可由y顺“反R方向”而达到。由于一对多的关系之特性，又可用这个语法来表明，说他是顺R而往顺反R而返乃至原处的关系。别种关系是没有这个特性的；例如R为子女对于父母之关系，则此关系与其逆关系之相对积为“自己或兄弟或姐妹”，若R为孙子女对祖父母之关系，则此关系与其逆关系之相对积为“自己或兄弟或姐妹或堂表兄弟姐妹”。两国关系之相对积不一定是“可交换的”（Commutative），即R与S之相对积与S与R之相对积两种关系未必相同。例如“父母”与“兄弟”之相对积为“父母”，“兄弟”与“父母”之和对积为“叔伯或舅”（译者注）
一对一的关系，又能供给两类问之“关系”，（Correlation）一个对一个，此类中之项各有一个相关联的项（Correlate）在他一类中。这种关联当两类无公共项时，如夫之类与妇之类，我们最易了解；因为在这种地方，关系场内任取一项，我们立时知道他到底是关联关系R之所从而生还是R之所及。为便利起见那关系所从而生之一项可叫做“生关系者”，关系所及之一项可叫做“被关系者”。设若x为夫y为妻，就“无”关系而论x为生关系者，y系被关系者；但就“妻”关系而论则x为被关系者，y为生关系者。关系与其逆关系，可以说是互为反对“方向”；如从x到y之关系与从y到x之关系其方向相反。关系之有方向，是一种根本的事实，有适当之关系可以使能发生，这也是其中一部分的理由。一关系之可能的关系者组成之类，就是关系界，其可能的被关系者组成之类，就是被关系界。
一对一的关系界与被关系界互相搭杂，这是极常见的事。例如起首十个整数（除0 在外），各加以1，则变为——
2，3，4，5，6，7，8，9，10，11
十数，除前头去掉了 1 后而新加上 11 以外，与原十数完全一样。前者是十整数，后者也是十整数：其间有一个关联关系，即n对于n+1 之关系，这关系是一对一的，又将前者各数倍之，也得十整数。
2，4，6，8，10，12，14，16，18，20。
其中仍有原十数种之五数，2，4，6，8，10。这回的关联关系，是一数对于其数之二倍之关系，也是一对一的。又若将前者各数平方之，也得十整数。
1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，其中还有原来的三数 1，4，9。这种关联法，可有无穷之多。
这种情形里面有一个很堪注意的事实，即作关联之一对一的关系，其被关系界为关系界之一部分而非其全体。上面这些例外打开将起首十整数换做全体的归纳数，就可以看得出这个情形来。我们可将所研究的数排为上下两列，令每数之下为其所关联之数。如令关联关系（Correlator）为一数n对于n+1之关系，则得以下两列：
1，2，3，4，5，………n………
2，3，4，5，6，………n+1………
若关联关系为一数n对于其倍数 2n之关系则得两列：
1，2，3，4，5，………n………
2，4，6，8，10，………2n………
若关联关系为一数n对于其平方n2之关系，则得两列：
1，2，3，4，5，………n………
1，4，9，16，25，………n 2 ………
在以上诸例，上列的归纳数之全体，下列却仅是一部分。
像这种例，被关系界为关系界之“真部分”的（Proper part）（非全体），将来在研究“无穷”之时还须再论。现在不过要大家知道有这种例且这种例有研究之必要罢了。
还有一种关联，有时很重要，就是寻常说的错列（Permutations），其关系界与被关系界全然是一样的。试看下列三文字之六个可能的排法；
a，b，c
a，c，b
b，c，a
b，a，c
c，a，b
c，b，a
每个都可从其余任一个藉一种关联法得来。试以首末两种（a，b，c）与（c，b，a）为例。a与c关联，b与自己关联，c与a关联。两个错列合起来还是一个错列，换言之，一定类之一切错列做成一“羣”（Group）（羣论中专门语）。
以上各种不同的关联各有各的重要用处；一对一的关联（One-one correlation）之一般的观念，在算理哲学上有无限的重要，我们已经稍稍知道，以后继续研究下去，格外可以十分明白。次章就要论到他的一种用处。
译者注 1. Function一字，寻常算学多译为“函数”，惟本书不仅用于数量，似不宜带数量字样，今译Function为从元，Argument为主元，（i）一主一从，因应之义未渝；（ii）元字泛指，则主元从元之义广；（iii）算学书也有称未知量为元者，主元从夫子用之于算学，也无扞格不通之处。
译者注 2.原文云“父母与兄弟之相对积为叔伯或舅，兄弟与父母之相对积为父母”，与界说不合，故改正之。