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我们对于自然数隶的分析工夫所已经做到的地步，乃是隶中之项（数），诸项全体所共组之类（归纳数），以及一数对其继数之关系（继数之逆关系）都下了逻辑的界说。现在应当论自然数的0，1，2，3，……这种“然相属”（以后或简称“属”）的特性。我们平常想到数，以为他们的顺序就是如此；但是我们既要在已知的事件上做分析的工夫，就有一件不可少的要务，便是替“顺序”（Order）或“级数”（Series）求一个月逻辑的名词来表示的界说。
顺序这观念，在算学上非常重要。不但整数有所谓大小顺序，就是有尽分数及一切实数也有大小顺序，他们的算理的性质，也大量以此为要素。直线上点之顺序，在几何中是要素；平面上过一点之直线之顺序，以及空间中过一直线之平面之顺序，虽然比较复杂些，也很重要。几何中所谓“进向”（Dimension），就生于顺序。做全部高等算学基础的极限（Limit）观念，也是一个隶之观念。算学中也有些部分不凭借顺序观念的，但是比之凭借着却少得多。
求顺序之界说，第一要明白，一串事项，绝不会有了一种顺序，就排斥其余各种顺序。他们能有多少顺序就有多少顺序。有时候一串事项按某种顺序排列，我们学得很自然很习惯，就想说这是他们唯一的顺序；但这是一种错误。自然数——即归纳数——在人心中最易按大小顺序排列；其实他们也可以有无穷的别种排列。譬如说：我们可以先取一切奇数，后取一切偶数；或者首列1，次列一切偶数，次列一切3之奇倍数，次一切5的倍数之非2或3的倍数者，次列一切7的倍数之非 2或3或5的倍数者，就一切素数之倍数依此排尽。凡说如此如此排列，实在是句不精确的话：其实我们何尝排列，不过是注意到某某关系罢了，有了这某某关系，则某某顺序才会生出。我们不能排列自然数，犹如不能排列天上的星辰；然而我们仰观天上的恒星，可以依其方位看，也可以依其亮度看，自然数也自然。其间可观察之关系甚多，我们注意在何种关系，他们就有何种顺序，各种顺序都一样的合理。自然数如此，直线上之点或时间之瞬刻等也莫不如此：一种顺序或比较熟悉，但其余的也一样真实。例如直线上之点，我们可以先取其坐标为整数者，次取坐标为有尽数（非整）者，次又取其坐标为代数的无尽数者，诸如此类，爱怎么排就怎么排。照这样得的一个顺序，乃是直线上之点所本有的，不论我们注意与否，他总常常存在；在一组事项之各种不同的顺序里面，只有我们的注意，是个随便的东西，至于事项本身所能有的各种顺序，是无时不存在不可以意为之的。
由以上观察之结果，可知一组事项之顺序的界说，不可在全组之性质上求，因为一组可以有的顺序很多，不祇一种。顺序不存在于事项之“类”上，乃存在于各事项间之“关系”上，因此关系而事项有前后之分。一类之所以有许多顺序者，其原因在各时相间含有许多关系。然则一种关系必须具有如何之性质才能发生顺序？
设有一关系，果能发生顺序，则取所欲依顺序排列之类，于其中任择两项，吾人必能言其何者“居前”何者“随后”，以此为准，凡能发生顺序之关系，其特性皆可发现。惟以后使用“居前”，“随后”两语，须如吾人了解此两语之意义，故凡能生顺序之关系，非具备三种性质不可。
（1）若x居y前，则y不居x前。这是属关系的一个很鲜明的特性。若x较小于y，则y不小于x。若x较早于y，则y不较早于x。若x在y左，则y不在x左。反之，关系之不能发生者，即无此性。若x为y之兄弟或姐妹，则y为x之兄弟或姐妹。若x与y同高，则y与x同高。若x与y不等高，则y与x不等高。在这些例上，都是x对y有什么关系，y对x也有什么关系。属关系上，不会发生这种事。关系之具此第一性质者，曰偏称关系（Asymmetrical relation）。
（2）若x居y前y居z前，则x居z前。这仍可用前举“较小”，“较早”，“在左”诸例来说明。至于不具性质（1）之三例中，一个具性质（2），其余则否。若x为y之兄弟或姐妹，y为z之兄弟或姐妹，xi不必为z之兄弟或姐妹，因为x与z也许是一个人。“不等高”与于此同，然“等高”关系虽无性质（1），却有性质（2）。“父”关系有性质（1）而无性质（2）。关系之具性质（2）者，曰传递关系。（Transitive relation）
（3）于一个欲依顺序排列之类中任取两项，必定一个居前一个随后。例如任意两整数，或两分数，或两无尽数，必一较大而一较小；惟两复素数则不然。时间之丙瞬刻必一较早而一较迟；然两事之起，可以同时，就不能照这样说了。一直线上两点，必一点在他一点之左。关系之具性质（3）者，曰结合关系（Connected relation）
若有一关系具备此三性质，则此关系即系能发生顺序者，具此关系之项，便可列成一种顺序；反之，有一顺序存在，则必可寻出一生此顺序而具备三性之关系。
在说明此题之先，我们还得写出几条解说：
（1）不可施诸本身之关系，曰示异关系（Aliorelative or be contained in or imply diversity）（原注1）如“大于”，“宽不同”，“兄弟”，“夫”，“父”等，都是示异关系；而“等于”，“同父母所生”，“爱友”等关系，则未必示异。
（2）x对于y，y对于x皆有某关系，则x对z有其平方关系（Square of a relation）。如“祖父”即“父”之平方，“多 2”即“多 1”之平方，诸如此类。
（3）关系之本方（The domain of a relation）（或云关系界）即一切对于他项有此关系之项所组成之类，关系之对方（The converse domain）（或云被关系界）即他项对之有此关系之一切项所组成之类。此二义前已言之，此处重叙，所以为下一届说之预备：——
（4）关系之本方与对方，合之为关系场（The field of a relation）。
（5）若有彼此两国关系，无论何时有此关系即必有彼关系，则称此关系包含（Contain or be impliedby）彼关系。
由以上各界说，可知偏称关系，就是一个“其平方示异”的关系。偏称关系虽常示异，但是异关系却往往并不偏称。譬如伉俪关系仅示异而不偏称，因x是y的伉俪，则y也是x的伉俪。然在传递关系中，则偏称者固无不示异，示异者也无不偏称。
由界说，知传递关系，就是关系之包含其平方关系者。祖宗之祖宗仍为祖宗，故祖宗为传递关系；父之父非父，故父非传递关系。传递的示异关系，就是关系之包含平方且示异者；换言之，一关系之平方包含该关系且示异者，曰传递示异关系——因传递关系之际异，与偏称效力相等。
在关系场内任取不同两项x及y，若x对y或y对x有此关系，（在偏称关系虽不能两者均可成立，但对于对称关系之两者同时成立也在所不惜）则称该关系为结合关系。
关系有示异且传递而不结合者，祖宗关系便是一例；因祖宗关系非结合，所以不足凭他来将人类列为一。
关系有传递且结合而不示异或偏称者，如“小于或等于”之关系之在数中便是。
关系有示异且结合而不传递者，如“大于或小于”在数中便是；因设x大于或小于y，y大于或小于z，但x与z未尝不可为同一数。
由此看来，关系之三性，（1）示异，（2）传递，（3）结合，完全是独立不相依赖的，可任有其二而缺其一。
故举隶属关系之界说如下：
关系之际异，传递且结合者曰“属关系”（Serial relation）；或以相等之语表之曰：关系之偏称传递而且结合者曰隶属关系。
（Series）即隶属关系。（Serial relation）。
或者有人以为隶就是隶属关系之场（Field），不是隶属关系本身。这种思想，乃是一种错误，譬如：
1，2，3；1，3，2；2，3，1；2，1，3；3，1，2；3，2，1；六个不同的数，关系是一样的。假如场算做，那就同一场祇有一隶了。六隶之分，只在六种顺序关系，每关系作成一隶。顺序关系定，则场与隶皆定。故顺序关系可取以为隶，而场则否。
设P为任意一隶属关系，若x对于y有关系P，则称在此关系上“x前于y”，或简写为“xPy”。p为隶属于关系，其所必须而且充分之三种性质是：
（1）xPx不能成立；即任何项不能前于其本身。
（2）P 2 包含P；即x前于y，y前于z，则x前于z。
（3）若x，y为场中任意两项，则xPy或yPx；即二者必一前一后也。
读者不难相信，在顺序关系里如发现这三种性质，则我们心目中所希冀的属性也必发现。反之，发现之特性，也必发现这三种性质。所以我们以上列三种性质做或顺序的界说，并无不合。并且这届说，是用纯粹逻辑的名词所定，也是可注意的。
有了一个，必定找得出一个传递，偏称，而且结合的关系，但找得的关系，未必便是那一望而自然认定为发生此之关系。我们可拿自然数来说明。我们看自然数时，心里所认定的关系，只有那一个连一个的比邻关系，换句话说，就是那比邻两整数间的关系。这个关系，仅偏称而不传递，也不结合。但从此关系，可用算学归纳法推出一个我们以前讲过的“先宗”关系来。这个先宗关系在归纳数内，和“等于或小于”关系是一样的。现在以发生自然数为目的，但取“小于”不要“等于”。“小于”就是当m为n之先宗而与n不同时m对于n之关系，或以相等语表之，当m之继数为n之先宗时（先宗的意义仍如前，归纳数可为自己之先宗）m对于n之关系。换言之，则有以下之界说：——
若归纳数m之继数所有之遗传性，归纳数n皆有之，则称m小于n。
由此易知且不难证明这样世界说的“小于”关系是偏称的，传递的，结合的，并且是以归纳数为其关系场的。用这个关系，归纳数才有了与我们界说意义相同的顺序，这顺序，就是寻常所谓自然顺序或大小顺序。
由n对n+1 这一类的关系可以发生，是很普通的方法。如英国累代帝王是一，是由每王对于嗣王的关系发生的。拿这种方法推想之发生，只要可用，大概总是顶容易的了。借这方法，我们可以由一个而推及其次一个（祇要有次一个），或由一个而推及其前一个（祇要有前一个）。这种方法，须用那普遍一种的算学归纳法，然后我们在这样生出的里，才能下“较前”以及“较后”的定义。现在仿“真分数”（不得为整数）之义，另立“真后裔”一名：“x对之有R关系之某项”之R后裔，曰x因R关系而生之真后裔。（某项之后裔一名，仍如前包括该项之本身，而真后裔则否）。故界说曰：——
一项x因R而生之真后裔（Proper prosterity）者，具有“x对之有R关系之各项”之各R遗传性之项全体组合之类也。
所以必须这样定界说者，为的是使他不但x祇对一项有R关系时可用，便是x对许多项有R关系时（例如父与子）也可用。故又界说曰：
若y属于x因R而生之真后裔，则称x为y之真先宗（Proper ancestor）。
以后为便利计，往往用“R先宗”，“R后裔”，“真R先宗，”“真R后裔”等简写法。
现在再论以此邻两项间R关系发生这问题，可知要想这个方法可能，则“真R先宗”那关系，必须示异，传递，而且结合。但是在若何情形之下“真R先宗”关系才能示异，传递，而且结合呢？这关系是无时不传递的：无论R是一种什么关系“R先宗”与“真R先宗”都常是传递的。但只有在某某条件之下，他才能结合或示异。譬如十二人围圆桌而坐，拿每人对于左邻的关系算作R。那么，一人的真R后裔，乃是自右至左绕桌过云所能到达的人。这把环桌的人全包在内，就是本人自己也在其内了，因为走十二步就到了起点的缘故。在这种地方，真R先宗虽然是结合并且R本身也示异，我们不能得出来，因“真R先宗”并不示异。因为这个缘故，所以我们不能说一个人在“在右”关系上，或是在由“在右”关系推出之“先宗”关系上，居于又一人之前。
以上举了一个先宗关系结合而不示异的例。至于示异而不结合的例，也可从“祖宗”一语寻常的意义上得出一个来。若x为y之祖宗，x与y诚然必非一人；然任举二人，其间却未必即有祖宗关系。这不是教学改革而不结合吗？
在如何情形之下，由比邻关系推出之先宗关系能发生，这个问题很重要。现在略举要紧的例如下：设R为多对一的关系（如父母对于长子之关系），试专就某项x之“R后裔”范围以内之项论之。这样一限制，“真R先宗”关系自然是结合的；至于求他是属的关系，那便祇靠他能够示异了。这是就上面圆桌的例推广来说的。还有一个推广说法：关系R是一对一的，所取之范围，兼有x之先宗及后裔；那么，发生唯一的条件，也就只是“真R先宗”关系示异。
以比邻关系发生，这方法在其本身满园以内固很重要，但还不如以传递关系定顺序的界说，其方法较为普遍。往往有的，任择两项相距无论如何之近，中间仍有无穷项。试以按大小顺序而排列之分数为例。任意两分数之间常有他分数——例如两分数之算术均数，两项间既常有他项，所以中不能有比邻项。我们如果定要靠比邻关系界说顺序，那么分数上的大小顺序便不能界说。其实分数中较大及较小关系，本不需由比邻关系而生，分数里较大及较小关系，本已具备偏称，传递及结合三种性质。在这些地方，必须用传递的关系界说顺序，因为唯有传递关系，能越得过中间无穷的项。用比邻关系的方法，也好像用数法求一团之数似的，只可备有穷项之用；有时候全项数虽无穷，而两项间项数有穷，也用得着；但是这方法，总不可视为普遍。不但这层，以前因认比邻为通法而生的一切谬想，都要划除尽净。否则遇着无相邻项目，就困难糊涂了。并且这种，在研究连续性，空间，时间，以及运动时，还非常重要。
发生的方法很多，但是都非寻出或构成一个偏称，传递而且结合的关系不可。其中有些方法很重要。现在拿一个“三项关系”（Three term relation）——“介乎”——来说明隶之发生。这个方法，在几何学很有用，并可以做论多项关系的引导；最妙即以浅近几何为例来说明。
在寻常空间内一直线上任取三点，必有一点介乎他两点之间。如果三点在一个加油或闭曲线上，这个“介乎”（Between）关系，不能存在，因为我们可以从一点起，沿圆而行，达于他点，不经过第三点。实在讲，“介乎”这个观念，完全是“开展”（Open series）——或是狭义——的特性，与“循环”（Cyclic series）（如前所论圆桌）的性质相反，循环上走若干路程，终又回到起点之时。这个“介乎”观念，可用作寻常几何之基础概念；但是我们现在仅论这观念在一直线及其在一直线上点之顺序之应用（原注 2）任取两点a，b，则直线（ab）除含a及b外，含下列三部分：
（1）点之介乎a与b间者。
（2）诸x点，a介乎x与b间。
（3）诸y点，b介乎y与a间。
故直线（ab），可以“介乎”关系界说之。
欲用“介乎”关系，将直线上之点由左而右顺次列之，需用下列诸假设（Assumptions）：——（1）若有介乎a与b之间者，则a与b不相同。
（2）介乎a与b间者，必介乎b与a间。
（3）介乎a与b间者，与a不相同。（由此及（2）推之，可知也与b不同）
（4）若x介乎a与b间，则介乎a与x间者，也介乎a与b间。
（5）若x介乎a与b间，而b介乎x与y间，则b介乎a与y间。
（6）若x及y皆介乎a与b间，则x或与y相同，或介乎a与y间，或介乎b与y间，（三者必居其一）。
（7）若b介乎a与x间又介乎a与y间，则或x与y相同，或x介乎b与y间，或y介乎b与x间，（三者必居其一）。
上列七性质，适合于寻常空间内一直线上之点，这是很明白的。凡能适用此七性质之三项关系，都能发生，看下面的解说自然知道。a，b，两点可以说a在b左，或b在a左，为求说明上固定起见，暂定a在b左。由是组成（ab）直线之点有五部分。（1）其本身与b之间有a存焉者——名之日在a左之点，（2）a，（3）介乎a与b间者——名之日在a右b左之点，（4）b，（5）其本身与a之间有b存焉者——名之日在b右之点。对于一直线（ab）上二点x，y我们可以一般的界说其在左之关系：有下列七种情形之一，则称“x在y左”：
（1）x及y皆在a左，而y介乎x与a间；
（2）x在a左，而y或为a，或为b，或介乎a与b间，或在b右。
（3）x为a，而y介乎a与B间，或为b，或在b右；
（4）x及y皆介乎a与b间，而y介乎x与b间；
（5）x介乎a与b间，而y为b，或在b右；
（6）x为b，而y在b右；
（7）x及y皆在b右，而x介乎b与y间。
由以上说法看起来，从我们所定三项关系“介乎”之七种性质，可以推断所界说的“在左”关系，乃是合于我们之界说的一种属关系。还有一种很重要的事须注意的，我们的界说和论证，虽然用了“介乎”这个字，却不必须有寻常空间里那种“介乎”的意义——随便那一个三项关系，祇要有了那七个纯粹形式的性质，都可以取而代之，并且是一样的能达到论证的目的。
循环顺序，（例如圆上各点之顺序）不能用三项关系发生。须另用一种“四项关系”名为“双双离间”。（Separation of couples）。试以环游世界为例论之。从英伦到新西兰，打苏伊士过也行，打旧金山过也行；但是不能说苏伊士或旧金山介乎英伦与新西兰之间。若有人周行世界，经这四处，那么不管他怎样走法，他在英伦及新西兰的时间，必为在苏伊士及旧金山的时间离开了，在苏伊士及旧金山的时间，也为在英伦及新西兰的时间隔开了。就一般言之，在一圆上取四点，用一定的方法分为丙双a与b，以及x与y，令由a至b必经过x或y，由x至y也必经过a或b，像这种情形，我们就说（a，b）为（x，y）“离间”。从这个“离间”关系，可以发生循环顺序，也好像从“介乎”关系发生开展似的，不过比较繁琐些罢了。（原注 3）
本章后半之目的，在提一个论题，其名可以叫做“属关系之发生”。（Generation of serial relations），隶属关系有了界说之后，由别的仅具有属性质一部分的关系而求出隶属关系，其方法也很重要，在几何哲学及物理哲学更重要。但是在本书范围以内，我们除令读者知道有这个论题以外，不能作详细的讨论。
（原注 1）这名词是C.S. Pierce造的。
（原注 2）参看Rivista di Matematica，Ⅳ pp.55 ff；Principles of Mathematics, p. 394（∮375）。
（原注 3）参看Principles of Mathematics p.205（∮194）以及同处所参引。