第三章
有穷与算学归纳法

我们若知道什么是“0”，“数”，“继数”，自然数都可界说，第一章已经论到。但是我们还可进一步来讨论：我们若知道了“0”和“继数”，自然数也就都可以界说。研究这个界说方法，知道为什么这个方法祇能用于有穷，借此我们便可明白有穷与无穷之分。我们现在不管“0”和“继数”譔怎样界说：暂且作为已知其意义，看别的自然数怎样由此便可得出。

随便指定一数，譬如说 30000，总可以次推及。我们先说“1”是“0”的继次次说“2”是“1”的继数，一直界说下去。凡随便指定的数——即如 30000——像这样逐步往下界说总可达到，如果我们不厌烦，直可用实验法来证明：一步步达到 30000 才罢。但是这个实验法用在特定的自然数上固然行，用来证明“凡这种的数都可照样达到”这普遍命题是不行的：我们不能数数而实验之，不能数数用这个从0 起由一数而及其继数以次推及的方法证明。那么，此外还有别的方法能证明没有？

我们试用一个曲折的方法来观察这问题。我们看，用“0”和“继数”可达到的数是些什么数？有没有方法能界说这种数字的全类？我们说，由 0 的继数得 1；由 1 的继数得 2；诸如此类。“诸如此类”这话大浑涵，太不确定，我们应该用一句话来替代他。我们不免要说“诸如此类”的意思就是说这个由一数而及其继数的方法可以用到有穷的次数；但是我们所从事的问题就是求“有穷数”之界说，那么，“有穷数”这观念是我们定义里所必不可用的。我们的界说里决不可假定我们知道什么叫做有穷数。

解决这个问题的关键就是数学归纳法（Mathematical induction）。第一章讲自然数时我们曾经提到算学归纳法，那时作为第五根本命题。该命题说：无论什么性质祇要属于 0 及有此性质之数之继数，就属于一切自然数。这命题先是看作一种原理的，但是我们现在却作为一种界说采用。凡一串之项能服从算学归纳法的，就是那些能用由一项而及其次项的方法达到的数，这是一难明白的；但这层很重要，我们还不妨详细地说明一番。

我们最好先举些界说，这些界说旁的地方也是有用的。

设有一种性质属于n即必属于n+1，则此性质谓之自然数中之遗传性（Hereditary property.）仿此，设有一类，n属之则n+1 也必属之，则此类谓之遗传类（Hereditary class）照此看来，可见（但还不会自以为知道）我们说某种性质是个遗传性就等于说该性质是某数以上诸数之公性，例如，100 以上诸数之公性，或 1000 以上诸数之公性或检直可说，0 以上诸数（即全体自然数）之公性。

遗传性之属于 0 者曰归纳性（Inductive property）。

遗传类之含 0 者曰归纳类（Inductive class）。

设有一遗传类其中 0 是一项，则 1 也为该类之一项，因遗传类必含其各项之继数，而1 乃0 之继数故。同理，设一遗传类其中 1 为一项，则 2 也为该类之一项；以此类推。依此，我们可以用逐步推及的方法证明任举一自然数——例如，30000——必为每一归纳类之一项。

某自然数“因前邻关系而生之后裔”（The posterity of a given natural number with respect to the relation immediate predecessor）我们界说为“凡含该数之遗传类”所公含之一切数（前邻乃继数之逆关系）。那么，一数后裔连该数及较该数大之诸数都包括在内，这是很明了的了；不过这层我们现在还不能公然就说是知道。（因为大小还不会讲到）

由上面的界说，0 之后裔就是属于各归纳类的那些数了。

现在不难表明 0 之后这组数就是那可以从 0 起一步一步一次达到的一组数。因第一，（照我们界说的意义讲）两组皆含 0；第二，若两组皆含n则两组皆含n+1。但有必须声明的，便是我们现在所论并非可以精密证明的事，不过将一个较浑涵的观念与一个较确定的观念作一度对照罢了。“那可以从0 起一步一步以次达到的一组数”这观念虽然像有一定的意义，其实是浑涵暧昧；反之“0 之后裔”呢，却比较的确切明了。以此易彼，所谓“可以从 0 起一步一步以次达到的数目”之意义自然表现了。

现在将我们的界说写下来：——

自然数者，0 因前邻关系而生之后裔也。（前邻乃继数之逆关系。）

裴阿诺三根本观念之中的一个用其余的两个界说了。至于他的五根本命题其中有两个——一个说0是一数，又一个是算学归纳法——都是我们的界说中应有的产物，无须另立为命题。“自然数之继数也为自然数”那根本命题改做“每一自然数有一继数”语气软弱些也就行了。

“0”与“继数”当然可以再用第二章所得“一般的数”的界说来界说。数0 是一个空无一项的类里面的项数，换句话说，就是所谓空团（Null-class）的项数。依“一般的数”的界说，空团之项数是凡与空团相似之团的类，就是单独一个空团所成之类也就是以空团为其唯一之项的类：（此类与空团不同，因此类有一项，便是空团，而空团却一项没有。独项之类与其项绝不是一件东西，以后类论中当详论之），故得纯粹逻辑的界说如下：

0 者以空团为其唯一之项之类也。

0 界说了，还得界说“继数”。设一数n，命α为含有n项之类，又命x为α以外之一项。则α与x共同组织之类有n+1 项。故得界说：——

α类之项数之继数即α与不属于α之一项x合组而成之类之项数。

要想这个界说十分完全，自然还要加些精微的理论上去，但与本书宗旨无关故略而不论。（原注1）第二章曾下了一类之数之逻辑的界说，说一类之数即与该类相似诸类之类，所以上述定义可以用得。

裴阿诺三根本观念完全引入逻辑的观念里而去了：我们已经得了他们的界说，使他们的意义明了，不像以前可以有无限的解释了，不像以前仅以五根本命题范围他们了。我们既不认他们的基本的，不能界说的，必须独立领悟的东西；将他们界说了，无疑为算学增加了演绎的法门。

至于裴阿诺五根合题，我们已经使其中两个可由自然数之界说证明。其余三命题呢？“0 非任何数之继数”及“任何数有一继数”两命题很容易证明。所难的就是其余那一个，就是那第三命题，“无两数同一继数者”。假使宇宙间之个体非有穷，这个命题便不难解决；因任意二数m及n若都不是全宇宙之个体数，只要m不等于n，m+1 与n+1 判然不同。苟宇宙个体数有穷，譬如说 10，那么没有一类能含有11个体，11 便是个空类，（Null-class）。（译者注 1）同理 12 也是个空类。这样一来，11=12；10 与11虽然不同，他们的继数却是一样了。像这样是有两数同一继数了。但宇宙中之个体数倘非有穷，这第三命题也不会失效。将来还要详细讨论，现在不深究了。（原注 2）

设宇宙间个体非有穷，那么我们所已成就的不但是用逻辑的根本观念及命题界说了裴阿诺三根本观念，并且还证明了他的五根本命题。由是以推，纯正算学既然都可由自然数理论推求而出，那么，纯正算学完全是逻辑的引申了。至于将此结果推展到那些近世非可由自然数理论推求出来的算学上也没有什么原则上的错误，这都曾于他书论之。（原注 3）

算学归纳法，我们已经用以界说自然数，还可以扩充起来。我们界说自然数为“0 因前邻关系而生之后裔”即 0 因“一数对其继数的关系”而生之后裔。一数对其继数的关系若以N表之，则任何数m对于m+1 有N关系。若有一种性质，当m具有之则m+1 也具有之，则此性质谓之“藉N关系而遗传”，或简称“N遗传”性。若一数m所有之“N遗传”性他数n皆具有之，则称n属于m之“藉N而生后裔”（或简称m之“N后裔”）。此等界说不仅用于N关系，还可照样用于任何关系。设R为任一关系，我们可以写下面诸界说：——（原注 4）

x项对y有R关系，今有一性质，x有之则y也必有之，则此性质谓之“R遗传”性（“R-hereditary”property）。

类之特性为“R遗传”性者曰“R遗传类”。

X乃对他项或他项对之有R关系之项，若x所有之各“R遗传”性y皆有之，则x称为y之“R先宗”。（此定义有无关紧要之例应当除外）。

x之“R后裔”都x对之为“R先宗”之一切项也。

我们设法构成以上各界说，使任何项如为他项之先宗也必为自己之先宗；如为他项之后裔也必为自己之后裔。此仅为便利计，并无他意。

若令R为父母关系，则这里所谓“先宗”“后裔”的意义，除一个人要算是自己的先宗及自己的后裔以外，与平常的意义没有分别。由此易见，先宗的关系完全可用父母的关系去界说，但是在弗雷格发挥他的算学归纳法之推广说以前，并没有人能用“父母”关系精确地界说“先宗”。试就此点略论之以见弗氏理论之重要。人初遇害到用父母关系界说先宗这问题，定然说若A与Z2 人之间B，C，D，E，……若干人；A是B的父母，B是C的父母，各人都是次人的父母，末了一个人是Z的父母，则A是Z的先宗。

但这个界说不大妥当，除非加上一句“中间承继之人数有穷才行”，请以下列数细为例：

这里是一个无尾的负数居前，一个无首的正数鲡居后可否说 是 的先宗？照上面所举初学者的界说定然答是，照我们所理想的界说就不然。如求其然，居中之项数非有穷有可。然而我们已经看出，有穷须由算学归纳法界说，而出手就一般的界说先宗关系，比之先就n对于n+1之关系特别界说，然后推之一般关系，实在要简单些。从最初起就拿一般情形而论，虽入手稍费思索，然而通盘计算，到底事半功倍，应用广而费力少，不但这里是如此，旁的地方也常如此的。

古昔看算学归纳法用于论证有点神秘不可思议。他是一个合理的证法，似乎无可怀疑，但为什么合理却没有人明白。有人相信算学归约法是上所谓归纳推理之一例。濮因卡雷（Poincare）（原注5）说算学归纳法是一个最重要的原画。用这个原理无穷三段论法可合为一推测式。这些议论全都错了，算学归纳法是一个界说不是原理。数之中有能用算学归纳法的，也有不能用的（见第八章）。我们界说自然数说他们是那些能服从算学归纳法的数，即一切有归纳性之数。那么自然数上能用这种归纳的证法，纯是拿他当个用文字述出的命题，并不凭公理，也不藉原理，更用不着什么神秘的直觉。譬如我们界说兽是四足动物，那么，四足的动物自然便是兽；同理界说自然数是归纳的数，那么服从算学归纳法的数当然是自然数了。

以后我们用“归纳数”代替“自然数”为的是使我们记着这类数是用算学归纳法界说得来的。

算学归纳法还具有一种特有的性质，有穷与无穷借此而分。算学归纳法原则可照通俗的说法改为“凡能以次推及都即能由首而推及尾”这种的形式。首尾之间其数有穷，这个原则就全；否则不合。诸位不见火车初开吗？起初车头移动，每辆车藉车钮拉动次车，各车以次而动，直到末了最后一车也动了。如果全列车很长，自然到末车开动的时间也很长。如果全列车无穷的长，那不仅要费无穷个拉动，简直可以说是没有全体开动的时候。但虽如此，假使车数不比全归纳数多（归纳数全是最小无穷类的一个实例，后章论之）机器又能耐久，那么虽则后方总有不曾开始运动的，迟早各车都要动起来的。这个例可以使我们明了以次相及之观念及其与有穷之关系。我们将来论到无穷数，算学归纳法失了效用，然后我们不知不觉将算学归纳法用在有穷数上的缘故自然更加明了。

（原注 1）参看Principia Mathematica

（原注 2）参看第八章

（原注 3）纯正几何（非解析的）阅Principles of Mathematics Part vi；理论力学阅同书Part vii。

（原注 4）此等界说以及算学归纳法之推广说，皆出费雷格之手，早在 1879 年，见于氏之Begriffschrift中。该书虽大有价值，然读之者恐需推不侫为第一人——距其出版已二十余年矣。

（原注 5）Science and Method, Chap. Iv。

（译者注 1）11 本身是空类，0 是空类之类，两者不同。 o0cpoTvxeFmCu9eyalLoELVCUB/2xz9utpIHFVlLNrxwazTt8PDQ/lmXCG7nIiQN