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“什么是数？”这个问题虽经常提出，但是确切的答案却直到现今才有。这个答案是1884 年弗雷格给的，载在他的Grundlagen der Arithmetik里。（原注 1）这本书虽然很短很浅而且很重要，但是没有人注意他，其中数之界说，在 1901 年本书著者“罗素自称”重新发现以前简直可算没有人知道。
吾人于求数之界说以前，有一件事要首先弄清楚，就是我们研究上的所谓文法。许多哲学家想界说数却去界说团，其实数与团大不相同。数是凡数之公性。好比人是凡人之公性。团不是数的例，不过是某特殊数的例。譬如三人团是 3 的一个例，3 是数的一个例；但是三人团并不是数的一个例。这点似乎很浅显，没有提论的价值；而哲学家（只有不多的例外）竟把他弄不清楚。
一个特殊的数与若干项数组成之团不是完全一致的：譬如 3 这个数与含有柏郎，约翰，鲁滨孙的三人团不是一件东西。数 3 是凡三件团所公共的，拿来区别别种集合的团体（非三件团）故某数者所以表示有该件数之团之公性，以示异于有他件数之团者也。
以后说“团”时，常代以“类”，“班”，“组”，“串”，“集合”；间或也用“场”，“区域”，等字样。“类”俟后章专详之现在不深论。不过有些与类有关的理论现在就要讲一讲。
界说类或团有两个方法，乍见好像绝不相同。（i）将类或团中各件一个一个举出来，比如说，“我所讲的团乃是柏郎，约翰，及鲁滨孙三人”。（ii）提出一种特性，比如说“人类”，“伦敦居民”。枚举的界说叫做外范界说，提示特性的界说叫做属性界说。两种界说之中，属性的界说，照逻辑讲，是比较的根本些。这可以从两种观察说明：（1）外范界说常可以变成属性界说，而（2）属性界说往往虽在理论上都不能变成外范界说。请申论之于下：
（1）柏郎，约翰，及鲁滨孙三人都有一种性质，世界上除此三人以外无论什么东西所没有的，便是所以“为柏郎或为约翰或为鲁滨孙”的那性质。这性质就足以供属性地界说柏郎，约翰鲁滨孙组成之团之用。试就“x是柏郞，或x是约翰，或x是鲁滨孙”这公式看。能使这公式真的祇有三个x，就是柏郎，约翰，鲁滨孙。就这一层看，这公式恰像一个含有三根的三次方程式。我们可以把这公式看作是所有指出一种性质为该三人团中诸员所公有而他团各员所没有的。其他以示外范的团体都可以照这样论。
（2）我们对于一类往往虽不能枚举其中的个体，却仍然可以很知道清楚。如人类，伦敦居民，虽没有人能一个一个地全举出来，但是对于其类仍然可以很知道。照这样看起来，足见在我们类之知识上外范的说并非必要。并且就无穷类而论，以吾人有穷之生命去枚举其中无穷之个体虽在理论上都是不可能。我们不能枚举自然数：自然数是 0，1，2，3，等等。我们到头总非用“等等”这字样来塞责不可。我们不能枚举分数之全体，或无尽数之全体，或其他无穷团中之各个体。所以我们对于这种团的知识都祇能由属性的界说去探求，不能用外范界说去摸索。
以上的理论，当我们寻求数之界说时，有三个地方有关系。第一，数之自身就成一个无穷团，不能用枚举法去定他的界说。第二，项数一定之集合也可认作是组成无穷类：比如三件团，我们一定要认为世界上有无穷个，因为如果三件团有穷，那么世界上的东西也就有穷，这虽然可能，但似乎未必如此。第三，我们总想用个方法来界说数，使数之无穷也是可能；我们对于一个无穷团之员数一定要能以说得出来，界说如此之团一定要用属性法，以该团诸员所公有而他团各员所无之性质界说之。
有许多地方类与其特性二者实际上可以互相替代。类与特性二者不同的要点，祇在一定组之项所成之类祇有一个，而一定类之界说上可引用之特性常有甚多。例如，人类可以界说作无羽毛的二足动物，或是理性动物，或用Swift写Yahoos的那些特性来界说，还更确切。这样看来，类之所以有用就因他是独一无二，而特性却不是独一无二，否则我们既有类中各员所公有且凡他类中各员所无之性质，也就是。（原注2）“唯一无二”这一层若不关紧要，这些性质中任取其一以代其类，都没有不可以的。
现在回到本题：数之界说。数是概括一切项数相同之团体的方法，这是很明白的。我们可以悬想将世界上所有的二件团都归于一组，所有的三件团都归于一组，诸如此类。由是我们得到许多团之组，每组所含，为一切有一定项数之团。每组是一类，该类中之各员都是团也就是类；所以每组都算是类之类。例如含一切二件团之组就是个类之类：因为每个二件团是一个含有两项的类，而全组是个含有无穷项的类，每项又是个含有两项的类。
我们何以决定两团可以归于一组？自然会答说：“先看两团各有多少项，项数相同即归于一组”。但是这是预告假定我们已经界说了数，并且知道了求项数之方法。我们惯用数的方法，所以这种“预先假定”的弊病容易忽略过去。其实数的方法，我们虽很熟悉，照逻辑讲，并是个很复杂的法子，并且用数来点一团之项数也非项数有穷不行。我们的数之界说决不可预先假设凡数皆有穷；无论如何我们用数来界说数总不免循环的弊病，因为数东西的时候就已经用了数的缘故。所以我们须得另求善法来决定两团之项数相同与否。
就事实而论，决定两团项数是否相同比求团中究竟多少项，在逻辑上要简单些。此可说明如下。假使世界上没有多夫多妻两种主义，那么无论何时生存的夫妇数目自然相同。无须从实际调查户口去，也无须知道夫妇确数。我们知道夫团妇团之数相同，因为一夫只有一妇，一妇只有一夫。这样的夫妇关系乃是所谓“一对一”的关系。
若x对于y有一种关系，此外没有别的x'对于y有这种关系，且x对于别的y'也没有这种关系，这种关系叫做“一对一”的关系。若仅第一条件成立，这种关系就叫做“一对多”的关系。倘若仅第二条成立，这种关系就叫做“多对一”的关系。
上述各界说中并不会用 1 这个数，请读者注意。
耶教地方夫对于妇的关系是“一对一”的，回教地方是“一对多”的，西藏地方是“多对一”的。父对于子的关系是“一对多”的；长子对于父的关系却是“一对一”的。设n为任意一数，n对于n+1的关系是“一对一”的；n对于 2n或 3n亦然。若讨论正数，n对n 2 的关系是“一对一”的；如果负数也采用，那么n对n 2 就是“二对一”的了（因n与－n之平方都是n 2 ）。由上面举的这许多例，“一对一”，“一对多”，“多对一”三种关系的观念总会明了了；这些关系在算学原理上很重要，除数之界说有关以外，别的地方应用也很不少。
若两类之间有一对一的关系，将此类之各个一下与他类之各个结合像夫妇配偶似的，则该两类名为相似（Similar）。这届说要先预备几个辅助解说才可讲得精确。凡对于他物某种关系之各项组成之类名为该关系之关系界或本方（Domain）：如“父类”就是父对于子之关系的界，“子类”就是子对于父之关系的界，“夫类”是夫对于妇之关系的界，“妇类”是妇对于夫之关系的界，夫妇两类合起来是伉俪关系的界。
夫对妇的关系是妇对夫的逆关系（Converse）。同理，“大于”是“小于”的逆，“较前”是“较后”的逆，余可类推。推而广之，凡x对y有某种关系，则y对x为该关系之逆。某关系之逆之界名为被关系界或对方（Converse domain）：例如妇类是夫对妇之间关系的“被关系界”。
现在可以将相似的界说写出来：
若两类间有一对一的关系，此类为关系界，彼类为被关系界，则称两类相似。
有三件事很容易证明的：（1）任何类字形相似，（2）若α类与β类相似，则β与α相似，（3）若α与β相似，β与γ相似，则α与γ相似。这是就相似而论。若就一般关系而论，凡具有性质（1）者名曰反身（Reflexive）关系，具有性质，（2）者名曰对称（Symmetrical）关系，具有性质（3）者名曰传递（Transitive）关系。凡对称而且传递的关系显然在他的界内处处有反身的关系。具备上列诸性质之关系是一种很重要的关系。相似就是其中的一个，这是很可注意的。
拿常识看，两有穷类如果相似，他们的个体数必然相同，否则不等，这是很明白的。数，不过是令被数的对象与用以数对象之自然数（0 不在内）中间有一对一的关系。照平常观念看来，数一个物就要用一个数，一羣物体有若干个，所用以数之数也必有哪些个。我们又知道（就有穷类而论）从1 至n恰好是n个数。所以我们知道数一有穷类时最后所用之数就是该类之项数。但是数，除祇能用于有穷类以外，并且必须依赖着还要假定着一种事实，便是，凡相似类之项数必然相等；比如我们数十件物体时的举动不过是表明该羣物件与自 1 十至 10 十个数两类间之相似罢了。所以相似的观念，依逻辑讲，在数的动作上是已经先假定的。并且这观念依逻辑讲，较为简单，虽然我们并不熟悉。还有一层，数物时必使对象按顺序排列，第一，第二，第三，……但顺序并不是数的本质：照逻辑的眼光看，是无关系的，非必要的，赘疣的。相似概念却不论顺序：如人类与妇类为相似类，其数相同，但是不必去拘究他们的前后顺序。相似观念也不限定相似类有穷：如自然数（0 不在内）与分母为 1 之各分数，照 2 与
，3 与
，4 与
，……这样拼配起来，我们就可证明这两个无穷类相似。
本章前面提出的那个问题，“如何决定两团可以归于一组”？现在可以用“相似”观念来解决。设一组收纳空团（无选项的）：是为数 0。设一组总括一切一件团，是为数 1。又设一组总括一切二件团，是为数 2，再设三件团之组，四件团之组，等等。任意指定一团，我们可以说他所隶属之组，即凡与该团相似之团组成之类。例如一团中三件，则凡与此相似之团的类就是三件团的类。
一团之件不论若干，凡与之相似之团，其项数必与之相等（或有相等项数）。我们就可以用这话来做“项数相等”（或“有相等项数”）的界说。这个界说的结果，就有穷类而论，显然与我们平常的见解毫不违背。
我们以上的论调都是很文从字顺的，从来没有一毫似非而是的地方。但是临到要实际去界说数，这个似非而是的论调，虽然终究会明了，却不能不经过一次（虽然终能知其是却难免不经过一次怀疑）。我们自然而然会以为“二件团之类”与“数 2”不像一件东西。但是“二件团之类”这个观念很明了，不难界说；“数 2”照任何旁的意义讲，总是一个形而上的实体，既不能确知其存在，也不能一准捉摸得定。所以我们与其求数 2 不着，存为悬案，永远不得解决，不如用有把握的二件团之类聊以自慰，比较还妥当些。由是举界说如下
一类之数者，“凡与该类相似之类”之类也。
（The number of a class is the class of all those classes that are similar to it）。
例如，二件团的数就是“凡二件团”的类。其实按我们的界说，二件团的类就是数2。这种界说虽然稍微有点奇怪，但是意义确定而且无可置疑；并且我们心目中所希冀凡数可以有的性质这样世界说的数也无一不有，这是不难证明的。
现在我们可以进一步将一般的数界说为任何由相似关系而组成之“类之串”。一个数就是一个“类之串”，串内之类个个相似，串外之类无与之相似者。换言之，数（一般的）是一个集合，这集合就是其中任一员（也是咧）的数；约言之：
数者，为一类之数者也（A number is anything which is the number of some class）。
此界说表面上看似乎有循环的语病，其实不然。因为我们界说“一类之数”时不会用一般的数之观念；所以我们可以用“类之数”来界说“一般的数”并不犯逻辑的谬误。
此种界说很普通很常见。譬如界说父，必先界说何谓为人之父；然后说父就是凡为人之父者。同理界说平方数，必先界说何谓一数为他数之平方，然后说平方数就是凡为他数之平方者。这种办法很普通，很正当，且往往必要；这层很有可注意的价值。
数之界说已经得了，他在有穷团很可用。无穷团怎样用这定义，还得考究考究。但是必须先界说何谓有穷何谓无穷，这不是本章范围以内可以详论的，以后再讲罢。
（原注 1）比较完备详细的答案载在他的Grundgesetze der Arithmetik Vol. i，1893 里。
（原注 2）类也可视为逻辑的构象（Logical fiction）由特性制造而成，以后当论释之。现在姑视为实在之物，以求说明上之简易。