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算学这门学问如果我们取其中顶普通顶熟悉的部分做出发点可以有两个方向进行。那较着一个方向，是建设的，是由单纯渐趋复杂的：由整数而分数，而实数，而复素数；由加法，乘法，而微分，积分，而高等算学。他一方向，不很显著，其方法是分析的，其抽象的程度，是愈进愈深的，其逻辑的单纯，是愈进愈深的：我们向这方向进行。不问从最初假定的出发点能界说或推论出些什么来，却反转去追究这个出发点，可以由那一些更普遍的观念或原理界说或推论兄弟无间出。算理哲学所以异于寻常算学而与之相反的地方。就在他从事着反对的方向。但读者勿以辞害意，这区别全是研究者心理状态上的区别，不在所研究的材料。古代希腊的几何学者，由埃及人测地经验所得之法则，研究到可以证明这些法则的普遍命题，然后再研究到欧几里得（Euclid）的公理及公法。由前面的界说说起来，他们正是致力于算理哲学；迨公理公法既经达到之后他们的应用，如欧氏原本中所见的，那就属于寻常算学的范围了。算学与算理哲学之分，全视研究上所感之兴趣及所经之途程如何，与其所研究的命题，是没有关系的。
这个区别，还可以换一方法来说明。算学中最显明最容易的东西，并不是依逻辑讲居于最初的那些东西，而是依逻辑的眼光看立于中途的那些东西。顶容易领会的概念，是那些不甚单纯（“单纯”这字照逻辑的意义讲）也不甚复杂的，正如顶显而易见的东西，是那些不甚远也不甚近，不甚大也不期甚小的。为扩充我们视觉的能力，我们需要两种器械，望远镜与显微镜；为扩充我们逻辑的能力，我们也需要两种器械，一种使我们能进到高等算学，一种使我们反退转来，对于算学中事物我们意欲假定他的，却替他求得逻辑的基础。将寻常算学观念分析起来，我们能得着新识见，新能力，并且经过这次回程之后，再向新的路线进行，可以有法研究到种种崭新的算理论题。本书目的，在将算理哲学加以简单的非专门的说明，其疑难部分几非粗浅之言所能论者概从简略。欲求完备的讨论，请观算学原理；（Principia Mathematica）。（原注 1）本书不过一个发几起例的入门书罢了。
现今普通受过教育的人，大概都以为数学的起点，就是那整数之串。
1，2，3，4，………etc。
或者有点算学知识的人才以为数起于 0，不起于 1，今姑假定此为一般知识之程度，以
0，1，2，3，………n，n+1，………
这个数串为起点，以后我们讲自然数（译者注 1）（Series of natural numbers），便是指这个数串而言。
我们能够采用这个数作起点，全因现今的文明程度很高。实在讲起来，知道鸡一对或狗一双是数2的一个例，必是要些年代：其中所含抽象的程度，绝不是可以容易达到的。古人发现1 是个数，一定也不容易。至于 0，简直是近世加进去的；希腊罗马时代，并没有这个数字。倘若我们生当古代而从事算理哲学，那么我们的起点，必然比自然数抽象的程度减少些，而自然数，却成为我们回程上的一座驿站。反过来说，到将来我们将算学之逻辑的基础都已熟悉，我们的起点，必然比现在采用的起点还辽远些，乃是我们现在分析工夫的一个后段驿站。就目前论，自然数，似即代表算学中顶容易顶熟悉的部分了。
但虽熟悉，支不会被人真正理解。曾经给“数”或“0”或“1”定个界说的人，很少。从0 起所有自然数，皆可由迭次加 1 得来，这是很明白的；但是“加 1”，“迭次”是什么意思，也得下个界说才行。这个问题并不容易。晚近以前的人，都相信算术最初诸观念中，必定不免有些太简单太根本而不能界说的观念非姑且承认不可的。凡经过界说的名词，无一不是用别的名词界说的，由此可见人类知识，常须拿些名词，姑且承认他们是无界说可明，然后界说别的名词，才有起点。名词中必定有些不能界说的，这一层，我们并不容易看出：也许我们界说的工夫做深一步，界说的界限便推远一步，永无止境。反过来说，如果我们的分析功夫做得充分了，也许可以达到一些实在很简单的名词，依逻辑不能下那种以分析为界说的界说。这问题，我们无解决的必要；为我们的目的起见，祇要知道人的知识有限，而我们所知道的界说，必要有个起点，这起点便是些名词，这些名词，虽不必是永远不能界说，我们可暂且不界说。
所有古昔传来的纯正算学，连解析几何在内，可以视为全由自然数之命题组织成。换言之，其中名词，都可由自然数界说之，其中命题，都可由自然数之性质推出之，——再各加纯正逻辑之命题及名词。
凡古昔传下的纯正算学，都可由自然数诱导而出，这层虽然早已经有人疑惑，却直到近世方才发现。派达哥拉斯（Pythagoras）相信不但是算学可由数推演而出，万事万物都可由数推演。他算是在所谓“算学之算术表示”（Arithmetising of mathmeetics）上发现最重大的困难的一个人。不可通约数之存在，是他发现的，他特别发现正方形边与对角线之不可通约。设正方形之边为 1 寸，则其对角线之寸数为√2，数之中好像并无此数。这个问题，直至今日，才确切地解决，其解决全借助于“归算术于逻辑”（Geduction of Arithmetic to logic）的理论，其说俟以后诸章详之。现在只认“算学之算术表示法”（Arithmetisation of mathematics）为真确，将他置之不论，虽然，他很为重要。
将古昔传下的纯正算学已经都归到自然数的理论，逻辑的解析之第二步，就是将这理论，再归到他可以由之而生之极少数的前提，及无界说的名词。这种功夫裴阿诺（Peano）氏已经做成功了。他证明凡自然数的理论，都可以由三个根本观念，五个根本的命题，再加上纯一逻辑之名词及命题，推求而出。这样说，这三个观念及五个命题，好像就是古昔传下的纯正算学的保证了。如果他们又能用别的名词和命题去解说去证明，纯正算学的全部，也一样的可能。他们在逻辑上“重要”，（如果我们能这样说）竟和一切由自然数理论推求出来之和中长跑科学相等；五命题如果保证是真确，其中所含纯正逻辑的工具也毫无错误，这些科学也就保证是真确。经过裴氏这番工夫，分析算学遂异常省力。
裴阿诺的三根本观念（Peanos three Primitive ideas）是：
0，数，继数，
“继数”指自然次序中之次数。（Next number）例如 0 之继数为 1，1 之继数为2，……。“数”指自然数之“类”（原注）2。他并没假定自然数中之各项我们全都知道，他只以为我们平常说“这是一个数”或“那是一数”时的“数”所指的是什么，我们是知道的；好像说“约翰是一人”，虽然全人类中的各个，我们并不尽知道，这句话中的“人”指的是什么，我们是知道的。
裴阿诺的五根本命题（Peanos five primitive propositions）是：
（1）0 是一数。
（2）任何数之继数是一数。
（3）无两数同一继数者。
（4）0 非任何数之继数。
（5）一种性质，0 具有之，任何具此性质的数之继数也具有之，则凡数都具有之。
末条为“算学归纳法”之原理。算学归纳法，以后将另有详论；现在只就他见于裴阿诺算术分析里面的讲一讲。
我们试简短地讨论裴阿诺三根本观念及五根本命题藉什么一种方法，结果便生出自然数理论。
首先界说“1”为“0 之继数”，“2”为“1 之继数”，诸如此类。我们挨次界说过去，显然是要多少可界说多少，因为本（2），则如是所得之数，各有他的继数，本（3），则此继数不得为前经界说之数，盖如是则有二数同一继数，本（4），则如是所得一串之继数中无为 0 者。照这样看起来，继数之，是个见首不见尾的连续新数。本（5），则凡数皆在这中，这起于 0 而渐次经过继续之继数：因（a）0 属于此，（b）属此之数之继数，属于此，故由算学归纳法，凡数都属于此。
如果我们要界说二数之和。取任意一数m，先界说m+0 就是m，m+（n+1）就是m+n之继数。本（5），这就是m与n之和的界说，不管n是什么数。仿此，二数之积也可以界说。算术中寻常初等命题，都可用我们那五个前提证明，这是学者不难自去试验的，如有疑难，可参考裴阿诺氏原证。
我们现在可以进一步讨论，裴阿诺的立足点而进到弗雷格（Frege）的立足点了；裴氏是“算学之算术表示法”（Arithmetiseation of mathematics）的完成者，弗氏却是从事于“算学之逻辑的表示”（Iogicising mathematics）之首先成功者，他将前人认为充分之算术观念，改化到逻辑上去，重新炮制一次。本章并不即论到弗氏造的数与特别数之界说，但是裴氏的学说，何以似决定而实非决定，现在可以举出些理由来。
第一，裴阿诺三根本观念——即“0”，“数”，“继数”——可以有无穷的解释，每种解释，都合于五根本命题。举例如下：
（1）命其“0”100，而其“数”指自然数中自 100 以上之数，则裴氏命题皆能适合，（4）也然，盖 100 虽为 99 之继数，而 99 一数不在我们这里所谓数之范围以内。本例之100，就是任意拿别数去替换，也明明是无所不可的。
（2）命其“0”指寻常之 0，命其“数”指通常所谓偶数，“某数之继数”指某数上加2 之数。则“1”乃指二，“2”乃指四，余类推；“数”之串将为
0，二，四，六，八，………
照此解释，仍能尽合裴氏五前提。
（3）命“0”指 1，“继数”指半数，而数之串为
裴氏五公理仍无不真。
像上面这样的事例，显然是不胜枚举。实在讲起来，任意一个串。
X 0 ，X 1 ，X 2 ，X 3 ，………Xn，………
祇要有首，无发展，无重复项，且在有限项数中无不可由首项以次相及之项，裴氏五公理。就可适用正式的证明，颇长而繁，但不证也很容易看出。命“0”指X 0 ，“数”为中各项之通常称，Xn之继数为Xn+1则
（1）“0”是一数，即说“X 0 为该之一项”，
（2）“任何数之继数是一数”，即说：“于中任取一项X 0 ，则Xn+1也在内。”
（3）“无两数同一继数者，”即说：“设Xn与Xm为中不同两项，则Xn+1与Xm+1也不同；”这是中原设为无重复项的结果。
（4）“0 非任何数之继数”，即，“继中不在X 0 之前的项。”
（5）变为：一种性质，X 0 具有之，若Xn具有之，则Xn+1也具有之，则凡中之项皆具有之。
这是与数之性质互相对照推求出来的。
凡是一，其形为：
X 0 ，X 1 ，X 2 ，X 3 ，………Xn，………
有首项，每项都是一个继项（所以就没有末项），无重复项，无不可从首项起依次达到之项，就叫做“进级”或“前进邻接”（progression（译者注 1））。邻接在算学原理中甚为重要。我们已经知道，凡邻接都适合裴阿诺氏五公理。反转来，凡适合裴氏五公理之串，都是邻接，这也是可以证明的。所以裴氏五公理，可以拿来做邻接的界说：“邻接”就是“适合裴氏五公理的”。任何晋级，可以做纯正算学的根基，其前项，我们可以叫做“0”，其全组各项，我们可叫做“数”，其中的次项，我们可以叫做“继数”。晋级不必定要数组织：如空间之点，时间之瞬刻，凡“取之不尽”的项，都可组成晋级。每一不同的晋级，给古昔传下的纯正算学上之一切命题一个不同的解释；所有这些可能解释，全都同样的正确。
裴阿诺的学说里面，并没有什么足以叫我们能够将他的三根本观念上这些不同的解释互相辨别。他假定我们知道“υ”是指什么而言，他以为我们不会将这符号当作一百，或是克流丕查女后的针，或是别的可以拿 0 指的东西。
“0”，“数”及“继数”三个观念，不能拿裴阿诺的五公理界说，必须独立地了解认识，这点很为重要我们需要的数，不但是要证实算学公式就算完事，还得正当地应用到普通事物上去。我们有一鼻二目十指。我们需要一种“0”，“数”，“继数”，能指明我们的鼻，目，指之数。如有一种系统，其中“1”指 100，“2”指 101，依此类推，在纯正算学上或者一样真，在人生日用上，却不大合用。我们原有一点知识（虽不十分清晰）知道什么叫做 1，2，3，……，所以算术里面用的数，须与这种知识符合。我们不敢相信用裴阿诺方法能得这样的结果；用他的方法，我们不过能说：我们虽然不能用更纯的概念来解释“0”，“数”，“继数”的意义，我们却知道什么是“0”，“数”，“继数”。这种话，（不能界说却知道的话）是当着不得已时必须说的，并且到头我们大家都必须说的；说出来，也没有什么不合；但是算理哲学之目的，正在将这话搁符合你讲，能搁多久就搁多久。倘若我们采用算术之逻辑的理论，的确还可以将这话搁得很久很久。
还有一层，有人或会提出，便不是把“0”，“数”，“继数”看做是“知其意而不能定其义”的东西，而把他们看做是证实裴氏五公理之任三个名词。那一来，他们便不是有一定意义而不能界说的名词了：他们是“变动不居的东西”，他们是些名词，关乎这些名词，我们定了若干的假设，就是裴氏五公理中所说；但除此以外，这些名词，仍毫无一定的意义。采用这种方法，我们定理的证明，将不是指一组久经考究的所谓“自然数”的而言，乃指有某些性质之而言。这种说法，并非诡辩，实在这种推广手段，有些地方很有价值。但是还有两点，足见他不能做算术之满意的基础。第一，这种说法，不能使我们知道究竟有没有那样一组名词或以证实裴氏五公理，也丝毫不会暗示什么方法，使我们可以知道有没有这种名词的组。第二，就是我们前面所说的，我们需要的数，必须可以用来数普通对象的，因此我们的数，应当有“一定”的意义，不可祇有一些形式的性质。这个一定的意义，即在算术之逻辑的理论上来定。
（译者注 1.）英文Series一字之原义，本系“累累然如贯珠”，“然相属”之意；Progression一字，有“一步进一步”，“按级而上”之意；英文算学书，有时互相不分，中文算学书，通常并译为“级数”。何鲁君主张译法文Suite为“数”，取“然相属”之意，译Series为“级数”，取规律阶级之意，（见科学第五卷第三期P243）译者甚以为然。惟本书用Series一字，取“然相属”之严格的意义，不能视为无规律之组。且本书所谓Series为“”，或为“串”。字不甚通俗，可用为学术名词，义有专属。“串”字较浅显，可用作普通名字，意义较广泛。数之称为“数”，点之称为“点”，一般之单称为“”。又Progression一字，译者主张平常宜译为“进级数”，Regression译为“退级数”，无分别进退之必要时Progression也可译为“级数”，此就数量而言也。本书不限于数量，可用“进级”，“退级”以代之。惟本书Progression及regression与他种Series之区别，非如平常所谓规律不规律，是在（简单之言）是否为相邻项组织而成；故兼用“邻接”一名以表示其特性；遇害必要时，加“前进”或“后退”字样以分别progression或regression。又“自然数”乃依原文直译者，其实系“进级”之一种。
（原注 1.）Combridge University Press, vol. i.,1910; vol. Ⅱ.,1911; vol. iii.,1913. By Whitehead and Russell。
（原注 2.）本章用“数”字，都是按着这个意义用。以后用此字，却用他的广义。