第二章
类簇

“喂！老严！我们一道儿去找方先生，好吧！”石威向严明招呼。

“怎么样，你对于逻辑学发生一点兴趣了？”严明笑着。

“前天听了方先生的话，感觉逻辑学这门学问的确非常重要。不管有兴趣没有兴趣，多少总想知道一点才好。”

“好！我也正想去。”

他们到了方先生家里，方先生正在看报。“哦！你们两位来了。请坐！”他放下报纸。

“我们想进一步向方老师请教一些浅近的逻辑学知识。”严明说。

“很好！很好！”方先生寻思了一会儿，缓缓地说起来：“要想知道一些浅近的逻辑学知识，并不怎样困难。据我个人教书的经验，初习逻辑学，最好从类簇开始。好！我们现在就谈谈类簇吧！

“类簇，在逻辑学中是一种很重要的概念。同时在日常生活中，我们时时引用它，所以它对于日常生活也是非常重要的。卖水果的人，知道把桃子放在一筐，把梨子放在另一筐。卖鱼的人，知道把鲤鱼装在一只桶里，将鲫鱼放在另一只桶里。可见，在我们日常生活中，时时在引用类簇的概念；并没有什么奇妙。

“不过，我们要知道，”方先生照样加重他的语气，“在日常生活中，我们对于类簇概念的引用，大都是不自觉的。而且比较起来很简单，很不精密。这样，在知识方面是太不够的。研究逻辑学的人，要有意地将这种概念加以精密的研究：一方面将潜含在日常谈论之间的类簇概念之种种及其性质显示出来，或是加以分析，加以条理。这还不够，另一方面还要扩张到日常谈论之间所潜含的范围之外，成为很专门的学问之一支。关于后一方面的，因为太专门了，我们暂且不讲，现在只拿前一方面的做出发点讲起。

“三字经上的‘马牛羊，鸡犬豕，此六畜，’就是指着‘马类’，‘牛类’，……而言。马类不同于牛类，牛类不同于马类，各自成一类簇。请各位注意，‘马的类簇’，‘牛的类簇’并不就是一个一个的马，一个一个的牛。假若我们以为‘马的类簇’，‘牛的类簇’就是一个一个的马，一个一个的牛，那就错了。有头，有尾，有足的马，牛，就是有头，有尾，有足的马，牛这样的动物而已，证不上什么类簇不类簇。在事实上，我们说‘马类’，‘牛类’的时候，决不是指着这一匹马那一匹马，这一头牛那一头牛而言，而是指称具有马性或牛性的一切东西。所以，类簇，就一种意义说，是具有某种性质的一切个体之共名。既是如此，可见马，牛的类簇自然不是马，牛这东西的本身。马呀！牛呀！我们叫它们为马的类簇，牛的类簇之分子。明乎此，我们就可以知道，类簇和类簇的分子不同。某类簇不是某类簇的分子。某类簇的分子不是某类簇。

“我们把这一点分别清楚了，现在进而讨论关于类簇的种种。类簇，大多可以用名辞来表示。例如，‘马类’，‘牛类’，‘善人’都是名辞。表类名辞，大都有外范和内涵。——表类名辞，就是表示类簇的名辞。”

“外范是什么？内涵又是什么？”石威急忙地问。

“一个名辞的外范，就是那个名辞所可指称的分子之全部；或者说，可用那个名辞来指称的分子之全部。‘马类”这个名辞的外范就是马类的一切分子，这蒙古马，这亚拉伯马，那四川马，……等等。一个名辞的内涵，就是被这个名辞所表示的类簇所有的性质。‘马类’所有的性质是有四只脚，善跑……等等。

“表类名辞大都有这两方面。而这两方面的相互关系如何呢？要确定表类名辞这两方的相互关系如何，首先就必须看类簇是否有分子存在。我们现在假定类簇是有分子存在。表示类簇是有分子存在的名辞，假若外范大，那么内涵小，假若内涵小，那么外范大。反之，若内涵大，则外范小，若外范小，则内涵大。”

“这话我不十分明白，请方先生详细讲讲。”石威要求着，并且把身子向前移动。

“好的！譬如证人吧！‘人’这一个名辞的外范是欧洲人，亚洲人，美洲人，非洲人，……‘人’这个名辞的内涵是动物之一种，有智慧，能使用器具，……等等性质。

“‘人’这个名辞所指的是全体人类，包括了所有的人，外范是很大了。然而，这样一来，它的内涵就很小。我们至多只能说人是一种动物，能用器具，有智慧。除此以外的性质，我们就不好说了。因为除此以外的性质，不见得普及到一切人类。例如，假若我们加一种性质，说‘人是有理性的，’这种性质一部分人也许有，可是许多人未必有。既然我们所说的‘人’是全世界的人，而全世界的人不一定都具有理性这种性质，因此我们不可拿‘理性’来形容‘人’这个名辞。既然如此，岂不是内涵就小了些么？

“可是，假若我们把人的性质说得多一点，例如说人不独是一种动物，有智慧，能用工具，而且皮色是白的，最善制造武器。这也就是内涵大些。然而，如此一来，我们所能概括的人之分子就比较少些。我们所能说的只是一部分欧洲人或美洲人。这也就是外范小了些。

“关于表示有分子存在的类簇的名辞之外范和内涵的相互关系，你可明白了吧？”方先生恳切地问。

“明白了！”石威点点头。

“然而，如果一个名辞所表示的类簇并没有分子实际存在，那么外范和内涵有方才所说的相互关系么？例如，灵芝草，独角兽，天兵天将，等等类簇，都是没有分子实际存在的。”严明疑问。

“我正豫备对于这一点表示几句。像你方才所说的灵芝草，独角兽，天兵天将，等等类簇，虽然不会实际存在，可是常在我们言谈范围之内。但是既无存在的分子，当然也就没有外范。既然没有外范，当然也就没有外范大则内涵小，内涵大则外范小这样的关系了。”

“关于类簇是什么，以及外范和内涵的相互关系，我们已经大略讨论过了。现在要讨论些其他的重要方面。”方先生的谈锋转到另一方面了。

“我们现在要进而谈谈逻辑学里所讲的一些基本的类簇。我希望大家注意呀！逻辑学并不特殊地研究这个类簇或是那个类簇，而是普遍地研究类簇之所以为类簇和它的性质。因此，对于类簇，不能不用符号表示。……请你们等一等，我去拿张纸来。”

“糟糕！”石威望了严明一眼，低声地说，“又弄起符号来了，我见了符号就害头疼！”

“咳！你这人，要想懂一门学问，总得费点气力；尤其像逻辑学这类的东西，那有这么便宜？”严明似乎在责备他。

“我先要声明几句，”方先生拿着一张纸和一只铅笔，“就我教书的经验，我知道许多学生见了符号就害怕，以为是如何深奥艰难的东西，其实这是怕用脑筋，符号这东西见惯了，比文字简明得多，假若我们要表示普遍的思想，非用符号不可，假若我们要将逻辑学中一部分的概念表示得清晰简单，容易了然，也非用符号不可，我们现在要用的符号非常简单，完全用不着害怕的。”

石威的脸微微涨红，疑心方先生听到他刚才所说的话。

方先生拿着铅笔在纸上盖了一些符号，一壁递给他们看，一壁解释道：“a，b，c，……是用来表示任何类簇。＝，这是等号。×，它与算术中乘号的意义称有不同，它表示‘既是……，又是……’，或是‘与’。＋，它和算术中加号的意义不相同；它表示‘或’。—，表示‘非’，或是‘负’。〇简单地表示零类，即没有分子的类簇。I表示全类，即是包括一切分子的类簇；或者又叫做‘讨论界域’。”

老教授又继续画着符号，向他们解释：

“a——‘a’类簇，表示无论什么具有分子的类簇，火山，轰炸机，猩猩。……

“—a——‘非a’类簇，非a的类簇恰好是a类簇的反称，或者表示一切不是a类簇的分子所形成的那一类簇。非火山，非轰炸机，非猩猩。……

“a＋b——‘是a或是b’的类簇。这儿的‘或’不必是要求‘a’，‘b’互相排斥的‘或’。这话是什么意思呢？当着我们说‘a或b’的时候，我们的意思是‘或是a或是b，或是a和b二者’。因此，此处的‘或’所排斥的只有‘不是a与不是b’这一种情形。

“举例说吧！我们以‘富’代替a，以‘贵’代替b，结果，a＋b就是‘是富或是贵’的类簇。美国总统罗斯福就是属于这种类簇的一分子。可是，像我们这样既不富又不贵的人，当然不能自己说‘我们是富或是贵’了。

“a×b——有时写作ab，表示‘即是a又是b’的类簇。我们常说‘那个女运动员很美健’。这里美健的意思实在就是既美又健。所以‘那个女运动员’是属于‘既美又健’的类簇。以‘美’代a，以‘健’代b就成了。

“a—b——表示‘是a而非b’的类簇。如果我们将‘美’代替a，‘健’代替b，那么a—b就是‘美而不健’的类簇。多愁善病的林黛玉就是属于这一类簇的呀！

“a＝b——‘a类簇等于b类簇’，或者表示a类簇和b类簇相同；即是，二者有相同的分子。以‘等边三角形’代替a，以‘等角三角形’代替b，于是a＝b就成为‘等边三角形等于等角三角形’。它们有共同的分子。

“I——‘大全类簇’，这种类簇包含着一切分子；同时也是‘讨论界域’的符号。

“〇——这是‘空虚类簇’，即是没有分子的类簇，乍听起来，似乎有点不顺耳：既是类簇，还没有分子吗？其实稍微想一下，我们就可知道没有分子的类簇多着哩！刚才说的天兵天将，灵芝草，独角兽，还有圆的方物，方的圆物，安琪儿，……都是没有分子的类簇。

“a＋—a＝1——‘a类簇或非a类簇等于大全类簇’。设a为‘人’，则—a就是‘非人’。任何物项必定是属于‘人’或者属于‘非人’。欧洲人，美洲人。……属于‘人’。而太行山，青蛙；黄果树……，属于‘非人’。这样看来，任何物项不是‘人’的分子，就是‘非人’的分子，若不是‘非人’的分子，就是‘人’的分子。‘人’和‘非人’的外范无所不包，穷尽宇宙之间的一切分子。所以，大全类簇或讨论界域是包含着一个类簇的全部外范或其反称的。

“a×—a＝0——‘既是a，又是非a的类簇等于0’。假若我们说‘一个人是石威又不是石威’。这简直不成话，世界上决没有这样的东西。

“好了！关于用符号表示类簇的部分，我们只弄这些。为了使各位更清楚起见，我们现在用一种简单的图形来表示上面已经用符号表示过了的许多类簇。”

方先生又拿起铅笔画着方块，画着圆圈，接着向他们指点道：“在未将上面用符号表示出来的类簇图解之先，我们讲讲图形的构造和意义。

这个图形表示“a类簇”