《孙子算经》成书

你可能没有听说过《孙子算经》，但你一定听说过“鸡兔同笼”，这道小学奥数中常见题目的原型就出自《孙子算经》的一道算题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何？”用现代汉语表达就是：现在笼子里有鸡（雉）和兔子。从上面数一共有三十五个头，从下面数一共有九十四只脚，问一共有多少只鸡，多少只兔子？

《孙子算经》成书于约公元300年，在唐代被列为“算经十书”之一，我们不知道其作者为何方神圣，不过书中有“今有佛书”几个字，说明该书成于佛教传入中国以后，可见其作者与《孙子兵法》的作者绝非同一个人。

全书分为三卷，上卷叙述了筹算记数法和筹算乘除法则；中卷举例说明筹算分数算法，开平方和面积、体积计算；下卷是各种应用问题。

上卷的筹算是《孙子算经》留给我们的重要遗产之一，它第一次给出了筹算的布算规则：“凡算之法，先识其位，一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当”，并说明用空位代表零。也就是在这本书里，我们知道了古代中国的十进制表示等内容。书中还详细介绍了利用筹算进行乘除的方法。

中卷主要是关于分数的应用题，其内容基本上都在《九章算术》的记述范围内。

《孙子算经》中最著名的是下卷的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”这个问题其实就相当于解现代数学中的同余式组： N ≡2（mod 3）≡3（mod 5）≡2（mod 7），其中 N ≡2（mod 3）表示 N 除以3余2，也就是 N 可以表示成3 k + 2（ k 为整数）的形式，其余类似。《孙子算经》给出的答数是最小正数解 N = 23。“物不知数”问题的解答指明了解题方法，列成现代的算式就是：

N = 70 × 2 + 21 × 3 + 15 × 2 -2 × 105。

不仅如此，《孙子算经》还将此法一般化，对任意余数 R ₁ ， R ₂ ， R ₃ ，只要将上述算式中的2，3，2换成 R ₁ ， R ₂ ， R ₃ ，并调整105的系数就行了（实际上70 × 2 + 21 × 3 + 15 × 2也是符合条件的解，因为它减去105（即3×5×7）的整数倍依然满足条件，所以减掉2×105就得到了最小的解）。这是现今关于一次同余式组一般解的剩余定理的特殊形式。

“物不知数”问题又称“孙子问题”，是中国数学史上最有创造性的成就之一，它在民间流传很广，还衍生出了“秦王暗点兵”“鬼谷算”“剪管术”“韩信点兵”等各种有趣的名称。特别重要的是，它引导宋代的秦九韶发明了求解一次同余式组的一般算法——大衍求一术。现在往往把这种算法的原理称为“中国剩余定理”，又称“孙子定理”。