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《九章算术》的出现标志着中国古代数学体系的形成。它经历了张苍（约公元前200年）、耿寿昌（约公元前50年）等人的修订，约成书于东汉初年。《九章算术》能流芳千古，中国魏晋时期数学家刘徽绝对功不可没，他于公元263年所做的锦上添花般的注解，一直为世人传颂。
刘徽Ⓟ
刘徽对《九章算术》中的方法和算法作了全面的论述，指出并纠正了原书中的错误，在数学方法和数学理论上作出了杰出贡献。因而，刘徽的注文绝非仅仅是对原书的简单诠释，在某种意义上，可被视为创新性成果，并以此在中国数学史上开辟了一个全新的时代。我们来看看刘徽所作的主要贡献：
（1）运用极限思想，创立了“割圆术”，以证明圆面积公式，并求出圆周率的近似分数，提出了计算圆周率的方法。
在很长一段时期内，对圆周率的计算成了数学界的马拉松赛，各路英才纷纷提出自己计算出的近似值。这一点上，中国长期走在世界的前列，至少在计算机问世前是如此。借助割圆术，刘徽计算出被后人称为“徽率”的圆周率近似值3.1416。
（2）用无限分割的方法解决了锥体体积的计算问题，提出并证明了“刘徽原理”：将一个“壍堵”（即用一平面沿长方体相对两棱切割而得到的楔形立体）分解为一个“阳马”（即直角四棱锥）与一个“鳖臑”（即四个面均为直角三角形的四面体），则阳马与鳖臑的体积之比恒为2∶1。以此为基础，解决了许多多面体的体积问题。
纪念刘徽的邮票Ⓨ
纪念刘徽割圆术的邮票Ⓞ
将一个“壍堵”分解为一个“阳马”与一个“鳖臑”Ⓟ
这一结果，其重要性不仅仅在于2∶1这个结果，更在于刘徽在证明过程中所使用的“无穷递降法”。虽然这种方法在今天看来有些缺乏逻辑依据，但它无疑是正确的。刘徽的那种大胆探索的意识也值得后人赞赏和学习。
（3）在开方不尽的问题中，他提出求“微数”的思想，这种方法与后来求无理根近似值的方法一致，它不仅是圆周率精确计算的必要条件，而且促进了十进小数的产生。
（4）指出解决球体积问题的方向。关于球体积，《九章算术》给出一个错误的公式，刘徽指出产生错误的原因在于把球与其外切圆柱的体积之比看成了
。他进一步设计了一个“牟合方盖”（即球的两个相等的外切圆柱体正交时的公共部分），指出球与牟合方盖的体积比才是
。虽然他未能求出牟合方盖的体积，但指出了解决球体积问题的方向。
（5）提出了许多公认正确的判断作为证明的前提，大多数推理和证明都合乎逻辑，十分严谨，还采用了图形类比的方法，从而把《九章算术》及刘徽自己的解法和公式建立在必然性的基础之上，对后世数学的发展产生了重要影响。
牟合方盖Ⓟ
（6）发展了天文观测中的重差术，即利用相似直角三角形对应边成比例的原理测量不可达距离的方法。刘徽自撰“重差”，作为《九章算术注》的第10卷，后单独印行，即《海岛算经》，为“算经十书”之一。刘徽在其中总结了重差法，提出了重表法、连索法、累矩法这三种基本测量方法，为地图学、航海学的发展奠定了数学基础。
由以上可以看到，在中国数学史上，刘徽堪称以“推理论证”来证明数学命题的第一人。这一思想一直是欧洲数学发展的主流，它可以避免经验数学不可避免的各种失误，推动数学朝着更加健康的方向发展。