阿基米德取得一系列数学成果

说起阿基米德，你一定记得他，从浴缸跳出来，大喊“发现了，发现了”的故事，以及那句“只要给我一个支点，我就可以撬起地球”的名言吧！阿基米德是古希腊物理学家和数学家，是静力学和流体力学的奠基人。

阿基米德出生于西西里岛上的叙拉古，曾在亚历山大学过数学、天文学等知识，以善于发明精巧的机械闻名于世，如投石炮，在击退罗马人对叙拉古的围攻中立下大功。然而，比起那些实际发明，他更醉心于纯科学的研究，据说罹难之际还在研究深奥的数学问题。

阿基米德对数学的伟大贡献在于他既继承和发扬了古希腊数学的抽象研究方法，又使数学的研究与实际应用相联系。他有多部著作流传于世，其中反映了他所取得的一系列重要数学成果，主要有以下几个方面：

（1）在《抛物线图形求积法》《论球与圆柱》《论螺线》《劈锥曲面和旋转椭圆体》《圆的度量》等著作中，他确定了计算抛物线弓形、螺线形、圆形的面积以及球体、圆柱体、椭球体、旋转抛物面体等几何体的表面积和体积的方法。

阿基米德充分应用了穷竭法的思想，用直边图形无限逼近曲边图形。在涉及极限问题时，阿基米德巧妙地运用归谬法求得答案（若欲证 a=b ，只需排除 a>b 和 a<b ） 。这一点继承和发扬了欧几里得的工作——欧几里得曾在《几何原本》里用穷竭法和归谬法证明了圆的面积与半径平方成正比等结论。这些作品里所涉及的“极微分割”概念，后来成了微积分的先声。

（2）他在数学史上第一次科学地研究了圆周率。在《圆的度量》中，他提出将内接多边形与外切多边形的边数增多，从而使它们的面积逐渐接近圆面积，从而求出圆周率。他求出的圆周率范围为： 。这是用96边的圆内接正多边形和圆外切正多边形计算得来的。

我们知道，先前安蒂丰开创了穷竭法，但所涉及的“无穷”概念使得希腊人感到恐慌。到了阿基米德手里，形势豁然开朗，他证明了“如果把圆的外切多边形的边数增加到足够多，就能使多边形的面积与圆的面积之差小于任何给定的面积”。这番话实际上已经与高等数学里极限概念的严格定义没什么区别了。

（3）在《数沙者》中，他以当时的希腊字母记数法为基础，提出了一种可以表示很大数的记数法。希腊字母记数法一般只能记到10 ⁴ ，经某种扩展可以记到10 ⁸ ，但他的记数法远远地突破了这个界限。阿基米德的记数法有点像10 ⁸ 进位值制，原则上它能表示任意大的正整数。但是阿基米德只讨论到 为止，他认为这样大的数足以对宇宙万物进行计数了。不过不要误会，阿基米德的这一记数法可不是咱们今天所用的科学记数法。

（4）在《论球与圆柱》中，他提出了著名的阿基米德公理，这是现代实数理论的基本公理之一。用现代的数学语言表述，阿基米德公理是说：对于任何两个正数 a 和 b ，如果 a ＜ b ，则必有正整数 n ，使得 na ＞ b 。

在这本书里，阿基米德导出了圆柱面的面积、球体的表面积等非常重要的结论，所采用的方法已经非常接近微积分的方法，而没有求助极限的概念。

（5）《方法》，阿基米德的这本书直到20世纪初才被发现，其命运颇为坎坷。它最先被人们抄写在羊皮纸上，大概在12世纪末的时候，一名东正教僧侣得到了这部作品，起先是准备将之销毁的，但是所用的羊皮纸在当时是件奢侈品，他舍不得扔掉，于是将上面的文字擦除，写上东正教的祈祷文。幸运的是，原先的文字虽经擦除，但墨水多少渗进了羊皮纸。美国斯坦福大学的科学家采用现代技术手段，用高能X射线将这墨水中的铁原子激发出荧光，才使得阿基米德的这部作品在20世纪初重见天日。

《方法》阐述了一种通常被称为“平衡法”的求积方法：将需要求积的量（面积、体积等）分成许多微小单元（如微小线段、薄片等），再用另一组其总和比较容易计算的微小单元来进行比较，而这种比较是借助于力学上的杠杆原理来实现的。这种平衡法，其实是近代数学的不可分量原理乃至积分法的思想起源之一。