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天才黎曼果然不凡，其主要成就是曲面几何张量算子及量子场论，是哥廷根大学高斯与狄利克雷的后继者。 32岁 入职院士，提交了8页的入职论文，想完成高斯、勒让德与狄利克雷的未了之愿，证明素数定理。这是唯一不涉及几何的论文，便涉及数论素数定理PNT：“论小于X的素数个数”，即π（X）。
论文没有直接证明素数定理，称“在作徒劳尝试之后，便把证明搁置一旁，因为并非目前研究所必需”。
论文包括{一大论题，2个函数，2个参量，2个假设，一把钥匙}：1+2+2+2+1=1.2.2.2.1=8页论文。
一大论题即命题：素数定理PNT即π（X）；
两个函数：Zeta（∑）和与Zeta（Π）积；Zeta函数写成ζ（s），亦称黎曼函数ζ（s）；
两个参量：其中S是指数参量，和式与积式各有本征变量：Zeta（∑：s,n）与 Zeta（Π：s,p）；
S是本征变量的指数，和式中是n^s，积式中是p^s，神奇的黎曼函数ζ（s）；
两个假设：一是“金钥匙方程”假设 RH1 ：和积相等为金钥匙！Zeta（∑）=Zeta（Π）；
二是“非平凡零点”假设 RH2 ：所有非平凡零点都位于S=1/2的临界线上；
一套钥匙：和积钥匙等价吗？钥匙若有“金银铜”，哪一把是“金”，何处捞金呢？
论文提出的ζ（s）函数内涵丰富，黎曼猜想令人向往。“黎曼假设是数学中最深刻的未解问题之一，不幸的是要说清楚假设的具体内容是非常困难的”，如海市蜃楼漂亮而神奇，看得见够不着永远高悬在那里。但黎曼猜想命题所在素数定理。在上述{1,2,2,2,1}集合中，何处下手，何处捞 金 呢？
欲“破解黎曼猜想之谜”，需“弄清黎曼猜想之实”。方能围绕论题，利用两个函数，区别两个参量，区别证明两个假设或之一，如“金钥匙方程”假设，有价值容易证！而“非平凡零点”假设可缓图或弃之。
黎曼Zeta函数ζ（s）双参量之S指数参量影响巨大敏感，应研究三个特例S=[0,1/2,1]必有精彩！
S=[0,1/2,1]是三个特例特征点，而S=[0,（0-1/2-1）,1]则是ζ（s）指数敏感域，可遍扫第一象限。
研究 发现，ζ（s）指数参量S影响巨大敏感，S<0有负偶数平凡零点，S>1有π 2 /6常数躺平。不可不察也：
S=0：和式为线性无穷，积式为高阶无穷，相差巨大不相等：Zeta（∑）≠<<Zeta（Π）；
S=1/2：在 √X 数量级上，相差也大不相等：Zeta（∑）≠<<Zeta（Π）；
S=1：在㏑X数量级上，有常数关联性，相差微小且等价：Π P/（P-1） ～ ㏑X ～ ∑1/n；称“金银铜”钥匙！
特例S=1表现淋漓尽致，是证明金钥匙等价的唯一捷径，金钥匙假设 RH1 积式Π更是黎曼猜想的核心价值与宝贵财富而大名鼎鼎。金钥匙与零点无关，“非平凡零点”假设 RH2 可缓图或弃之，本文不予讨论！但可漫议漫议：既然S=1已有ζ（s=1）与㏑X素数分布关联，那么在虚轴上ζ（s=1/2+it）再与㏑X关联定然十分渺茫，抑或是空想，虽然它是神奇ζ（s）函数在复平面上魔幻开放的非平凡零点之花！未研究三个特例尤其S=1之核心价值，而一头扎进虚数复平面中，既不了解黎曼，更不熟悉黎曼ζ（s=1）函数可化腐朽为神奇！
众所周知，Y=X为一次线性无穷，把第一象限分成两个相等卦限；Y=√X半次函数又把第一卦限分成两个域：下半低半次域与上半高半次域；称√X分水岭者，X与低半次之商必高半次，与高半次之商必低半次也。更有趣更难得的是，比分水岭小很多低半次域中存在仅有的三个不同类型的低阶弱无穷调和函数：积性Π素数调和，对数㏑X实数调和与和式∑整数调和：上述S=1特例之 Π P/（P-1）～㏑X～∑1/n使“ 金 银铜”钥匙等价！
用导数增量函数与极限分析不难证明等价关系，黎曼和式∑（n），∑1/n是著名欧拉级数，称调和级数，匀步匀阶恒频匀速变化；黎曼积式Π（p），Π P/（P-1）阔步高阶低频慢速变化；可由筛法定义，也可证明得来，与熟知的对数函数㏑X三者都有调和自洽性：自变量增加很大，函数值增加很小。分别称为 和式调和级 数 ， 积式调和分布 与连续 调和对数 。用解析方法讨论三类单增低阶无穷∞的变化率与增量关系及其变化趋势的调和自洽性，动态跟随性与近似等价性，“金银铜”钥匙等价，或有最佳素数定理形式。三类调和函数分析如下：
∑（1,7）长度7间曾>√X，Π（1,59）长度59间曾>√X，称为函数缠绕或函数纠缠。一阶㏑X虽然永远<√X没有纠缠，但它与√X变化率不同，当X=4二者变化率相同为1/4，距离最近时为0.614，之前变化快，之后变化慢。但它们为多倍高次函数时，就会对√X有更大缠绕，纠缠区更长，体现了各类素数平均分布规律的复杂现象。脱离了缠绕区或纠缠区后，大尺度恢复平稳，虽是多倍高次，仍是低阶无穷，都可迭代计算。
增量分析得知，∑1/n与㏑X的相关性，n=1首项误差是1，前10项误差γ10=0.6264，之后每项㏑X增量㏑n-㏑（n-1）都比1/n大一个低阶无穷小量，与之靠近虽难以抵达，即在（0,1）之间单调有界必有极限，有常数存在。当n与X在较大尺度计算即可发现：
∑1/n=㏑X+γ,γ=0.5772156649为欧拉常数；可以写成：
∑1/n=㏑2C1X，其中2C1=e^γ=1.781072418，也是常数。类似分析忽略细节也可得知：
Π P/（P-1）与㏑X的相关性，P=2时首项之比是2.88，P=23时前10项倍比K10=1.9496，之后每项Π P/（P-1）都比前一项有一个跳跃倍比，（1+1/（P-1）），即在（1,2）之间衰减波动必有极限。当端点X与P在较大尺度计算发现：
LoX=Π P/（P-1）=2C1㏑X=1.781072418㏑X，C1=0.890536209称为黎曼常数。
特别地，若将其P定义域定义在Z=PR≤√X处，记为Lo1=ΠP/（P-1），区别于端点X处之LoX则有：
㏑X=2㏑Z且有LoX=2Lo1；则必有Lo1=C1㏑X=0.890536㏑X；
如此γ联系了和式与对数，2C1联系了积式与对数；故ζ（s）和式与积式与对数㏑X等价关联：
Π P/（P-1）～㏑X～∑1/n三类函数调和自洽，动态跟随，近似相等同为低阶弱无穷等价性关联。
特别是常数e，γ，2C1有联系：e^γ=2C1=1.781072418，体现了黎曼“金钥匙”有内核关联性。可以预测，孪生素对与哥德巴赫素对都会与素数规律㏑X有常数关联性（或如哈代常数C2，随后将予推导）。
对数㏑X反映素数变化的末端趋势，和式∑1/n不便于表达素数定理；唯有积式Π P/（P-1）才体现整数由素数堆垒的算术基本定理积性本质与筛法原理，记之Lo1=Π P/（P-1），（P∈2,3,5…Z=PR≤√X）。
上述分析计算表明：黎曼和式有常数误差积累∑1/n=㏑X+γ（即欧拉常数γ，单调有界必有极限）而积式有倍数比积累Π P/（P-1）=2C1㏑X（黎曼常数C1，衰减波动也有极限），即0.890536可信度或1.12292冗余度，则为[10]《素数之恋》P106之（5.2）式与（7.2）式，即“金钥匙”（7.3）式动态等价成立。ES筛法自由变量定义域动态可变：让积式之P从筛法必要临界点PR外插2.15PR渐进估计，和式之n或㏑X从终端充分点X内插X/e渐进估计，皆可达最佳精确估值，必使“金钥匙”等价成立。定义域之充要域动态筛法域如下变化所示：
0<欠筛域<Z=PR≤√X临界点<X/e最佳点<X/2无效筛点<过筛域<X终端点<1.78X……
必要点<最佳点<充分点
渐进估计满足筛法充要条件，使π（X）=X/㏑X/e获最佳估值，还黎曼猜想“金钥匙”成立之高光。
欧拉积式Lo1=Π P/（P-1），更因黎曼作为金钥匙假设RH1并解决素数定理而大名鼎鼎。
本节结论：黎曼猜想“金银铜”：描述素数分布Π P/（P 1）～㏑X～∑1/n等价性成立，积式必为金。
应该注意：素数定理表达平均分布稀密度。端点X处㏑X代表素数在末端的瞬时稀密度（狄利克雷积分素数定理之高精确度说明了这点），故X倒退内插是必然的。类似地Z=PR≤√X是筛法必要条件临界点，刚筛完合数也不代表平均分布，还应计入更多筛因子的贡献，故P前进外插也是必然的。自由变量X和P于筛法充要域动态可变，可渐进精确描述素数平均分布。“金银铜”钥匙：铜和式不好用，银对数式可估值用，只有金积式Lo1最好用。其后一百多年间证明者们没去证明它，更没有运用它，只把高斯对数式㏑X作为终极目标！㏑X简单熟悉先入为主或思维定式乎？寻根溯源，漫议漫谈，读者自有判断，原因是否就在Lo1？
欧拉黎曼积性函数Π P/（P-1），及至后来布朗、塞尔伯格、哈代、哈勃斯丹到中国的华、王、陈、潘，数论书籍中遍布这个公式的身影而未运用。简化重复，记之以Lo1=Π P/（P -1），定义域服从筛法充要域可省略。离散积性分布Lo1=Π P/（P-1），充当素数定理如何，何不深思？破解黎曼猜想，并非唯一目的！以1900年巴黎数学大会为里程碑，德国数学家希尔伯特把数学界遗存难题分为23类，第8类难题数论相关有：
四色定理1852年提出，124年后1976年已决；
费马大定理1637年提出，357年后1994年已决；
最后“三大猜想”（长期停留在对数素数定理表象之中，有哲学问题）：
黎曼猜想（1859-2022）163年无果，陷入“零点旋涡”？
孪生素数猜想（1859-2022）163年或280年？
哥德巴赫猜想（1742-2022）280年？三大难题悬而未决？原因是否就在Lo1？
又说“黎曼猜想的神话”——数学家们喜欢在酒吧沙龙谈天吹牛漫谈，或显高大幽默或想爆炸原子弹。把黎曼猜想吹得神乎其神：[8]楼著《黎曼猜想》有多处说“超级难题黎曼猜想”；[10]Derbyshire著，陈为蓬译《素数之恋》有多处说“∑1/n=Π P/（P-1）二式为金钥匙”。网上于2018.9.24，丘成桐大师对阿蒂亚爵士“证明黎曼猜想”有过如下较为理性中肯的评价：“牵强而无严格定理证明”“看不到数学物理意义”“Todd函数极为重要但没有仔细描述”。
素数用于“RSA密码体制”及RSA密码体制是否安全（本身就不安全）与阿蒂亚证明黎曼猜想无关。“有人要吹得语不惊人誓不休这个由他”，“金钥匙”才是制胜法宝。
下面先给出Π式的筛法定义，再给出更初等的证明。