2.1　集合

什么是集合？读者可以把集合想象成一个盒子，盒子里面装着整数、分数、小数、复数或者字母中的一种或几种，甚至什么都没有。数量也可多可少，没有限制。

定义2.1.1　集合 (Set)

集合指具有某种特定性质的事物的总体。集合中的每个对象叫作这个集合的元素。一般使用 表示集合， 表示元素 在集合 里。

集合具有确定性、无序性、互异性 3 个特征 ^[8] 。确定性是指如有一个集合和一个元素，那么这个元素只能属于或者不属于该集合，不存在模棱两可的情况; 无序性是指如有两个集合，只要集合中的元素相同，无论如何排序，这两个集合都是相同的；互异性是指对于一个给定的集合，集合中的任何两个元素都是不同的。对于相同、重复的元素，无论多少，只能算作该集合中的一个元素。

集合还可以分为有限集和无限集。下面看一些简单示例。

● 表示所有整数集合，是无限集。

● 表示正整数集合，是无限集。

● 表示有理数集合，是无限集。

● 表示实数集合，是无限集。

● 表示正实数集合，是无限集。

● 表示复数集合，是无限集。

● 是有限集。

● 表示空集，是有限集。

● 是一个有限集。

在密码学中，密钥空间与密文空间是有限的，因此它们都是有限集。为了继续了解什么是集合，还可以将集合分为子集和真子集。

定义2.1.2　子集 (Subset)

如果 是 的子集，当且仅当 中的每个元素在 中也会出现。记作 。

定义2.1.3　真子集 (Proper Subset)

如果 且 ，则 是 的真子集。记作 。

集合的子集与真子集示例如下。

● 是 的子集。

● 是 的子集。

● 是每一个非空集合的真子集。

如果定义两个集合 是相等的，则需要满足 且 。这样就可以说集合 。同时，需要注意区分 和 的区别。 是元素和集合之间的从属关系； 是集合与集合之间的从属关系。它们是不一样的，尽管关系非常紧密。设 是集合 中的一个元素，它们之间的关系可以表示为：

定义2.1.4　交集 (Intersection Set)

与 的交集记作 ，定义为：

定义2.1.5　并集 (Union Set)

与 的并集记作 ，定义为：

如果元素 既在集合 里又在集合 里，那么 和 的交集就是 和 的并集是所有 的元素和所有 的元素放在一起以后的集合，对于相同的元素，只保留一个。

例 2.1.1 集合 ，集合 ，求它们的交集和并集。

解：

交集：

并集：

定义2.1.6　差集 (Difference Set)

集合 与集合 之间不同的部分叫作差集，记作 ，定义为：

需要注意的是，一般情况下集合之间的相减并不相等，即 。

例 2.1.2 。那么 ， 。

定义2.1.7　补集 (Complementary Set)

令集合 为一个全集合。集合 的补集，记作 ，定义为：

例 2.1.3 ，则 。

并集、交集、差集、补集的示意图如图 2-1 所示。