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1是个奇数，所以当你想当第一，你必是个“奇才”。
——瑟斯博士
7？为什么不是10这样更“圆满”的数字？我们之所以认为10是一个圆满而特别的数字，仅仅是因为我们有十根手指，因此围绕10开发了最常用的数字系统。如果人类有八根手指来数数，那么我们的数学肯定就会基于“八进制”而非十进制了。因此公平地说，就征服宇宙的数字群体而言，7和其他数字并无任何区别。
《生活大爆炸》中的首席怪人谢尔顿·库珀说，最完美的数字是73。为什么呢？
谢尔顿：73是第21个质数。将它反过来，37，则是第12个质数。再将12反过来，21，则是7与3的乘积。
莱纳德：我们明白了，73是数字界的查克·诺里斯！
谢尔顿：那是抬举查克·诺里斯了！73在二进制中是一串回文数字1001001，反过来还是1001001。而查克·诺里斯名字倒过来没有任何意义！
谢尔顿经常穿着胸前印有“73”的衬衫，而道格拉斯·亚当斯《银河系漫游指南》的书迷们可能更喜欢胸前印有“42”的衬衫。毕竟，它是生命、宇宙和世间万物的答案，是由超级计算机“深思”消耗750万运算年的算力得出的结果。那些为选择42辩护的人可能会指出：钼元素的原子序数42，恰巧是宇宙中第42个最常见的元素；或者说，世界上最畅销的三张专辑——迈克尔·杰克逊的《颤栗》（ Thriller ），AC/DC乐队的《回到黑暗》（ Back in Black ）和平克·弗洛伊德的《月之暗面》（ The Dark Side of the Moon ）——时长都是42分钟。但其实这只是一个小玩笑，亚当斯本人说：“我坐在桌前，盯着花园，心想就42吧。我随即打出来。剧终。”
抛开玩笑不谈，宇宙中最重要的数字到底是哪些？当然这取决于我们如何定义：是最常见的、最有趣的（不管出于什么原因），还是数学上最重要的？但实际上，没有什么数字是无趣的。有一次，英国数学家G. H. 哈代乘坐一辆车牌号为1729的出租车去看望卧病在伦敦一家医院的印度天才数学家斯里尼瓦萨·拉马努金（详见第八章）。在问候拉马努金之后，哈代说1729这个数字看起来很乏味。拉马努金立即纠正道：“不，它是非常有趣的数字，它是‘可以用两种方法的立方数之和表示的数’中最小的数。”（1729=1 3 +12 3 =9 3 +10 3 ）逻辑学也显示并不存在完全“无趣”的数，因为如果存在的话，就应该有一个“最小的无趣的数”，而它也会一下子因其创纪录的“小”变得有趣！然后，它会被一个新的“最小的无趣的数”取代，这个数字又会因为同样的原因而变得有趣，以此类推。
物理学中有一些重要的数字，乍看似乎可以列为有趣的数字，如光速、万有引力常数、阿伏伽德罗常数等。但是这些数大部分取决于选用的单位。某种程度上，真空中的光速是物理学中最重要的量，但它的数值取决于单位是公里/秒（299 792）、英里/秒（186 282）或其他单位而有所不同。物理学中唯一取值不依赖于单位的常数是所谓的无量纲常数。最重要的无量纲常数是精细结构常数 α ，它的值约等于1/137，在原子和亚原子物理学中经常出现。它可以被视作电子等带电粒子之间电磁相互作用强度的测量值。除此之外，它还有许多解释，同时似乎对我们所处的宇宙有深刻意义，只不过我们还没有探究清楚。精细结构常数的迷人之处不仅在于它的普遍性，还在于（连同其他几个因素）它可表示为自然界三大基本常数的组合：电子电荷的平方值除以普朗克常数与光速的乘积。在其他场合，精细结构常数 α 的确也许可以成为宇宙中排名前七的数字。但本书主要关注数学而非物理学，因此 α 只能作为“名誉提名”出场了。
有两个数字在数学领域无处不在且非常有名，一定能被选入我们的“数字名人堂”——π和 e 。它们就像是数字界的披头士乐队和滚石乐队。普通人对π更熟悉，因为我们在学校里都学过。π是圆周率，是圆的周长（C）与直径（d）的比率，即π= C/d 。π是一个奇妙的存在：为什么不管圆的大小如何，周长与直径的比总是一样的呢？这是因为所有的圆（至少在平面上）都是相似的，“相似”是一个数学术语，它们在数学上都是彼此的缩放版本。圆的面积（A）公式 A =π r 2 中也包含π，r则是半径。该公式可以视作将圆不断切割成越来越小的碎片，并排列成一个容易计算的形状来求得圆的面积。
只要涉及圆，就会出现π，因为它的几何学根源与圆的形状密不可分。但是π的神奇之处在于，即使看不到圆，它也能像魔法一样习惯性显现出来。例如，序列1/1 2 +1/2 2 +1/3 2 +1/4 2 +1/5 2 …=1+1/4+1/9+1/16+1/25…随着我们加入越来越多的项，它的值会愈发接近π 2 /6=1.645…。这个分数的倒数是6/π 2 ，等于两个数字互质的概率，假使这两个数字足够大的话。换而言之，它们除了1之外没有其他的公因数。事实上，π与质数（除了自身和1之外没有其他因数的数字）的分布似乎有着神秘的密切联系。在某种程度上，它最终走向了一个叫作黎曼 ζ 函数的公式（详见第十三章），数学中最重要的研究对象之一。为什么我们最初在计算圆的过程中发掘的作为圆的基本性质的数字会突然与质数发生联系呢？
π也出现在关于“布封投针问题”的解答中。该问题由法国博物学家乔治-路易·勒克莱尔（后来成为布封伯爵）在18世纪提出：假设有一块地板由纹路平行且等距为 l 的木头组成，如果一根长度为 l 的针掉在地板上，它落地时与其中一根木纹相交的概率是多少？答案是2 / π。
回到1655年，英国牧师、数学家约翰·沃利斯（他创造出表示无限的符号∞）发现：
我们将时间快进到2015年，罗切斯特大学的两名研究人员卡尔·哈根和塔玛·弗里德曼惊讶地发现，在计算氢原子的能级时出现了完全相同的公式。哈根是粒子物理学家，他一直在教授学生一种量子力学中的方法——变分法。这种方法可以估算复杂系统中电子的能量状态，例如分子，但在其中求得精确解是不可能的。哈根认为学生们可以通过计算氢原子的能级来练习变分法，因为氢原子的能级能够准确计算，从而可以了解到粗略计算方法的误差有多大。当哈根自己进行计算时，他很快察觉到了一种规律：对于处于低能级的氢原子，这种方法的误差是15%；而对于倒数第二低能级的氢原子，误差是10%；随着能级不断提高，误差变得越来越小。哈根请数学家同事弗里德曼研究了在更高能级下的近似值趋势，发现随着能级的增加，该方法所接近的极限与沃利斯的发现完全吻合。
物理学家对π并不陌生，在库仑电荷定律、开普勒行星运动第三定律和爱因斯坦广义相对论的场方程中都有它。当圆形、球形或者由圆周运动产生的周期性运动出现时，π就会登场。但出人意料的是，即使没有圆或正弦波，π也会出现，在上述哈根的例子或海森堡测不准原理中也是如此。有时候与π的圆形起源的联系最终可以被找到，但其他时候它与我们学生时代的几何没有明显的关联：π在物质世界和数学领域都无处不在。
最重要的七个数字中，另一个数字某些方面与π相似，但知名度没那么高。 e 也称“欧拉数”，其值为2.71828…，比π小一些，但和π一样都是无理数和超越数。无理数是指它不能写成一个整数除以另一个整数的形式，而超越数是指它不是 x 3 +4 x 2 + x -6=0这类方程的解，换言之，不是一个整数（或有理数）系数多项式的方程的解。
与π不同， e 没有一个明确的定义。它产生于许多公式，任何一个都可以作为它的定义。但理解 e 的一个简单方法是考虑复利问题。事实上，瑞士数学家雅各布·伯努利就是在1663年以这种方式首次发现了 e ：假设你在一家年利率为100%的银行存了100英镑，利息按年支付，到年底你会得到200英镑。现在假设另一家银行与这家银行利率相同，但利息支付是每半年一次，每六个月你会得到50%的复利，那么到年底会得到225英镑。显然利息支付越频繁越好，如果利息按月支付，那么在年底你能获得261.30英镑；如果利息按天支付，那么到年底你能获得271.46英镑。利息支付的间隔越短，复利就越多，但你能获得的利益是有限的。事实上，如果利息连续以复利计算支付，那么到年底你将获得100倍 e ，四舍五入也就是大约271.82英镑。
e 出现的另一种情况与指数增长有关。指数曲线是由一个数的 x 次方所定义的曲线。曲线的斜率或陡度随 x 的增大而增大。指数曲线2 x 在任意点 x 处的斜率约为0.693×2 x ，曲线3 x 在点 x 处的斜率约为1.098×3 x 。
通常指数曲线的斜率总是与高度成正比。但是有一种特殊情况，其斜率正好等于高度，这就是曲线 e x 。不仅曲线 e x 的斜率在每一点上都等于其高度，斜率的增长率，以及斜率增长率的增长率等都与它的高度相等。
和π一样， e 也常常在一些意想不到的地方出现，而且出现在似乎完全无关的数学领域。假设你有两副扑克牌，你分别洗牌，然后发出每副牌的第一张牌、第二张牌，以此类推。那么，你所发全部牌中没有连续两张牌是相同的，这个概率有多大？答案非常接近于1/ e 。事实上，它是1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!-…-1/51!+1/52!计算出来的结果（其中“！”是阶乘；如4!=4×3×2×1），大概与1/ e 的差距不到1/53!。假设每副牌中每种牌仅有一张，随着两副牌中纸牌数量的增加，发牌中没有相匹配的牌的概率会越来越接近1/ e 。
无处不在的搜索引擎背后的谷歌公司，对 e 这个数字尤为喜爱。在2004年上市时，它宣称公开募股的目标是筹集 e 个十亿美元，或者说（最接近）2 718 281 828美元。此后在人才招聘中，谷歌在硅谷、西雅图、奥斯汀和马萨诸塞州的剑桥等地都贴了广告牌，上面写着：“{ e 的位数中的前10个质数}.com”。解开这个谜题需要一点数学知识，当你进入这个网站，会发现上面写着：
恭喜！你进入了第二层考核。现在请登录www.linu x .org，输入用户名“Bobsyouruncle”，而密码需要解出下面这个方程获得：
F(1)=7182818284
F(2)=8182845904
F(3)=8747135266
F(4)=7427466391
F(5)=__________
最后，那些找到F(5)的值并前往已出现的网站的人，会收到面试邀请：
恭喜你，干得漂亮！欢迎来到谷歌实验室，我们很荣幸你能加入。
讽刺的是，很多解不出答案的人可以通过“谷歌一下”来获取别人上传的答案——这样做能不能帮他们通过接下来的面试就不知道了！
当我们在甄选七个宇宙最佳数字的时候，绝对不能遗漏第一个也是独一无二的……1。因为任何数字与1相乘都等于其本身，它是自身的阶乘（1!=1×1），自身的平方、立方。它还是自己的倒数，1/1=1。1是第一个奇数，第一个正整数，也是唯一一个既不是合数（即有除自身和1之外的因数的数）也不是质数的数。它是第一个三角形数，或者任何形式的形数，是斐波那契数列的第一个和第二个成员（这个数列从1开始，然后将前两个数字相加：1、1、2、3、5、8、13……）。作为循环小数，1可以写作1.000…或者如我们前面所见，也可以写成0.999…。
1在许多基础数学领域都有着至关重要的作用，例如在集合论和数字系统的公理化中。在普遍接受的以自然数体系为基础的标准规则或公理中，1是0的“后继数”，换言之，是生成集合中下一个成员的载体。
在哲学领域中，“1”常被视作现实世界的真实状态或终极状态。根据这种观点，我们看到的世间万物、种种变化，都不过是幻觉。所有事物的最终状态是一个“无法分割的、彼此相连的整体”的一部分。总的来说，物理学认同这一观点，由于引力等相互作用，在自然界中没有事物是孤立存在的。更重要的是，宇宙学还认为宇宙中所有物质和能量都起源于大概138亿年前发生在单一时间和单一空间上的单一事件。毕达哥拉斯学派也持有大致相似的观点：宇宙万物都起源于“单子”——第一个存在的事物——单子产生了二元，二元又是所有数字的来源。
在数字1出现很久之后，数字-1才出现。就像零一样，负数必须被发明（或发现）。因为一开始负数显然没必要存在。毕竟，你不可能有“-3只羊”或者“-8片面包”。但事实证明，无论是在纯数学领域还是实际的日常事务中，它们都是有用的。在负数被发明几个世纪之后，数学家们开始思考负数的平方根是多少。大家都知道25的平方根是5，但是什么数字的平方是-25呢？换句话说，方程
x
2
=-25的解是多少？答案不可能是一个实数——在数轴上向更大的正数无限延伸，同时在相反的方向向更大的负数延伸的数字。肯定是数学中从未出现过的怪物。在17世纪甚至更早之前，有些数学家开始认真思考平方为负数的可能性，但其他数学家则嗤之以鼻，认为这种数是“虚数”。尽管具有误导性，这一名称仍然沿用至今，我们现在把
作为虚数单位元，或简称为
i
。
π、 e 和1能够位居七大数字很容易理解，因为它们在数学世界和现实中都很常见，而且是正数，我们可以按正常方式来度量和处理。但是 i 乍一看好像没有资格被褒奖。除非在学校上过高等数学课程，或者专攻数学或物理学，很少有人会在日常生活中遇见 i 这个数字。尽管如此， i 是非常特别的存在。首先，它是整个数字系统内大大拓展实数以外内容的基础。“复数”系统（又是一个误称！）的发现为数学开辟了一片广袤的新领域，相当于天文学家在太阳系以外发现了一个不可思议的宇宙。 i 是复数的组成部分，比如5+2 i 既有实数部分也有虚数部分。复数理论是复分析（研究复数方程的学科）的基础，而复分析又为数论、代数几何和应用数学的许多领域带来了重大突破。
没有 i ，现代物理学几乎不可能产生。量子力学中的基本方程——薛定谔方程——就包含 i ，并且方程的解（即“波函数”）是个复数。即便是在经典物理学中，一旦我们需要对某种周期性运动建模，例如水波或光波，那么 i 就会出现。尽管对于描述理想状态下的物理运动，如永恒摆动的钟摆模型，实数已经够用，但一旦将更多复杂的因素考虑在内，如抑制钟摆运动的摩擦力，在数学上处理这个问题的最好方法就是把 i 带入方程。同样在流体动力学中，如果流体的运动状态变得不稳定，并且逐渐朝着湍流点移动时，也需要使用 i ；在爱因斯坦的广义相对论中，时间间隔可以认为是距离乘以 i ；在电气工程中，需要表示交流电的振幅或相位时也会用到 i （除非工程师更喜欢用j而非“-1的平方根”，以免与表示电流的符号 i 混淆）。
目前为止，我们已经介绍了七大数字中的前四个：π、 e 、1和 i 。0当然也跻身了名人堂，诸多理由我们在第二章说过了，这里无须赘述。令人惊讶的是，五个明星数字都出现在了欧拉恒等式中：
e i π +1=0
这个神秘的方程以最简单的方式将数学中五个最重要的数字与四种基本运算（加法、乘法、指数和等式）联系起来。美国物理学家理查德·费曼称它为“数学中最非凡的公式”。19世纪的哲学家、数学家本杰明·皮尔斯在哈佛大学的一次演讲中提出了这个公式的证明，并说“尽管我们不能理解它，也不知道它意味着什么，但我们已经证明了它，因此我们知道它一定是个真理”。
事实上，证明欧拉恒等式并不太难——它只涉及一些简单的算术和使用复数的微积分运算。该公式的幂部分可以通过一个粒子（动点）在复平面上的运动，有优雅的几何学解释。指数函数用于描述一个粒子从1的位置开始穿过复数平面的过程，其速度等于它到原点的距离，因此粒子离原点越远，移动得就越快。公式中代入实数，则粒子会以越来越快的速率离原点越来越远，其速度在任意时间t都能达到 e t 。但如果公式中代入虚数，则粒子的速度与其所在的位置呈90°角，因此运动轨迹是一个圆。粒子绕圆旋转一周所需的时间为2π（圆的周长是2πr）。因此，在π时间后，粒子走过了圆的一半，到达-1处。这以另一种方式解释了为何 e i π =-1。
以发表的作品来看，莱昂哈德·欧拉是最多产的数学家。他在不同领域都工作过，也被认为是有史以来最伟大的数学家之一，因此毫不意外，他开创的数学领域中许多结论、定理等和他的名字联系在一起。仅在本章我们就讲解了欧拉数字（ e ）和欧拉恒等式。下面我们将介绍欧拉常数，它的值精确到小数点后五位，由欧拉1735年在《论调和级数》中首次提出。1781年，他将近似值扩展到了小数点后十六位，九年后意大利数学家洛伦佐·马斯切罗尼进一步精确到三十二位，因此这个数字也被称为“欧拉——马斯切罗尼常数”。但这位意大利人是否完全配得上这一殊荣还有待商榷，因为他把后十三位数算错了！欧拉——马斯切罗尼常数不如π 或 e 有名，但是它进入排行榜前七名的原因和这两个数一样——在不同数学领域中出现的大量数位，以及与很多重要公式和结果的联系。欧拉常数用γ（小写伽马）表示，因为它与伽马函数关系密切。伽马函数是一个具有普遍性的阶乘函数，用Γ（大写伽马）表示。对伽马函数最简单的定义方式是：当 n 逐渐变大时，其值逐渐接近如下表达式：
γ=1+1/2+1/3+1/4…+1/ n -ln（ n ）
此处ln表示自然对数。ln（ n ）表示 n 是 e 的多少次幂。例如 n =1000时，ln( n )=6.908（近似值），因为 e 6.908 =1000（近似值）。序列1+1/2+1/3+1/4…+1/ n 的值被称为“调和级数”，随着 n 的增加，尽管它的确会发散（换句话说，无限增长下去），但增值非常缓慢。ln( n )也是如此。当 n 趋于无限时，这两个缓慢发散的函数的差值恰好是γ。
γ的值从0.57721566…开始，已被计算机计算到小数点后超过1000亿位。不过令人惊讶的是，我们不知道γ具体是什么样的数。实数包含有理数和无理数；无理数既可以是代数数，也可以是超越数。例如，我们可以确信2、3.14和1/3都是有理数，同样可以肯定π、
e
和
是无理数。我们还知道π和
e
是超越数，而
是代数数。但奇怪的是，尽管γ非常重要和普遍，数学家们却不知道它是有理数还是无理数，更别说超越数了。事实上，确定γ的状态是数学中一个重要的未解问题。大卫·希尔伯特认为在他的年代这个问题是“无法解决的”。数论领域的两位巨人，英国数学家约翰·康威和理查德·盖伊都表示，他们“准备断定γ是超越数”。目前我们可以肯定，如果γ是有理数，则可以写成
a/b
的形式，
a
和
b
都是整数，且
b
必须不小于10
242 080
。
将质数应用于类似的式子可以得出一个与γ相似的常数，叫作梅塞尔——梅尔滕斯常数。我们看看这个级数：
N=1/2+1/3+1/5+1/7+1/11...+1/ n -ln(ln( n ))
梅塞尔——梅尔滕斯常数M被定义为当 n 趋近于无穷时N的极限值。换句话说，它是当 n 不断变大时，上面这个级数趋近的值。从质数的倒数总和与ln(ln( n ))之间的差值M≈0.2615可以看出，它的发散速度异常缓慢。尽管我们知道ln(ln( n ))会发散到无穷，但你永远也猜不到它的增长速度。事实上，当 n 达到超大数字googol（10 100 ）时，ln(ln( n ))仅为5.4左右。当 n 攀升到令人眼花缭乱的googolplex（即10 googol ，这个数字非常大，即便每个0都写成一夸克那么小，整个宇宙也装不下）时，ln(ln( n ))才约为231。
γ在数论、数学分析（微积分是其中之一）和函数处理中时常出现。尽管我们大多数人对γ有些陌生，但许多与其相关的公式和领域对数学家和科学家至关重要。例如，γ是所谓耿贝尔分布的中心，耿贝尔分布可以在先前的极限值已知的情况下，预测未来的最大值和最小值，在预测一定时间内自然灾害（如火山和地震等）发生频率的可能性时非常实用。通过前面提过的伽马函数Γ的作用，γ可以用于加密系统的建模，以应用于确保交易安全的数学研究中。γ还在贝塞尔函数的解中出现，贝塞尔函数可以用来模拟波状系统，如波导天线的设计、薄膜的震动以及物质热传导等领域——这些都与手机的设计息息相关。
七大数字中最后但同样重要的是一个我们难以想象的数字。哲学家们一直在思考无限，但是数学家们却尽可能回避这个问题。例如，数学家们很乐于承认数字没有尽头，线条可以在任何方向无限延伸，但不愿意在数学中真正处理无限——直到乔治·康托尔出现，他不顾激烈反对，创造出集合理论和不同阶的无穷大的存在。
康托尔将最小的无穷大，即所有自然数的集合，称为阿列夫零（ℵ 0 ），ℵ是希伯来字母表的第一个字母。这是第一个超限数。你也许听说过：无穷大不是一个数，事实上是一种不同类型的数。超限数也遵循严格的规则，其运算能够被了解和分析，只是它们的模式与我们所熟知的任何数都不同。
ℵ 0 与任何数相加都不会发生变化。ℵ 0 +1=ℵ 0 ，ℵ 0 +1000=ℵ 0 。你甚至可以把ℵ 0 自身加上，或把它与任意有限的数相乘，它仍然是ℵ 0 。它看起来坚不可摧、无法动摇。但有一种方法可以获得另一种无穷大，那就是用ℵ 0 做幂。当我们写下2 ℵ 0 或者将任何有限数甚至ℵ 0 自身提升ℵ 0 次方，我们在无穷大的层级就提升到阿列夫1，写作ℵ 1 （假设“连续统假设”为真，该部分在第十三章会继续介绍）。尽管ℵ 0 巨大无比，但它仅仅是无穷大数字体系中最小的一个，每个新的无穷大数字都在上一个的基础上不断扩大。理解无穷大数字给我们的思维带来极大挑战，因为我们的思维是有限的。
ℵ 0 是七大数字中的最后一个，不仅因为它的数值巨大，还因为它代表了数学中一种非常重要的对象。只要在学校的数学课上学过或在微积分入门中做过级数极限的人，都会遇到“无限”。事实上，“无限”的概念支撑着整个“实分析”领域，形成了微积分的基础。它也是测度论的核心，我们对概率相关问题最深刻的见解就由此而来。在物理学中，用于量子力学公式的“希尔伯特空间”不仅大小是无限的，在维度上也是无限的。最后，通过ℵ 0 间接衍生出一些奇异的超限数，不仅被应用在一些最基础的数学领域，还通过“快速增长层级”函数，不断生成人类所能想到的最大的有限数字。