下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
我喜爱谈论“无”，因为那是我唯一所知。
——奥斯卡·王尔德
零：没有什么好聊的，特别是当你的银行账户存款为零、收到的生日贺卡数目为零、赢得滚存彩票头奖概率为零的时候。同时零的含义似乎显而易见，我们都知道它意味着什么并认为它的存在理所当然。很难想象，曾经有一段时间数学里没有零，数学家要去发现它——或者说要去创造它，这取决于我们如何看待这件事情。
从直观感觉上来说，零的概念早在人类历史早期就存在了。早期人类——甚至是动物——都明白自己“没有”食物或“没有”住处意味着什么。这种面对“没有”的恐惧正是促使努力奋斗生存的动力。
对哲学家而言，“零”和“无”的概念，很久以来就是令人着迷的主题。许多东方宗教很讲究“无”的概念，例如在某种形式的佛教中，舜若多（空）被认为是一种心境，在这种状态下，人的思维中所有意识思想，包括自我的意识被释放出去，只留下纯粹的当下意识。这是学习禅宗射术的人想达到的目标：心无旁骛，所有意念都集中在发射的箭上。
其他一些思想派别，例如亚里士多德的门派，认为“无”是不可能的。这种观点认为，“无”是不可能存在的，然而就其本质而言，世间万物总会以各种形式存在（包含时间、空间、物质和能量等要素）。因此，亚里士多德认为宇宙应该是永恒的。因为如果宇宙是在某一刻诞生的，那么此前一定有一种他不赞同的东西——虚空。但其他著名的希腊人并不同意。
德谟克利特及其追随者相信万事万物都由原子组成，因此坚持认为必定存在一片真空，为原子提供移动空间。随着时间的推移，科学家逐渐发现原子的存在（尽管与古典原子论者的想法非常不同），但在欧洲流传下来并主导中世纪思想的是亚里士多德的哲学。在中世纪，天主教非常惧怕“无”的概念，坚持认为宇宙是永恒的，因此将亚里士多德的学说放在极高的地位，甚至高于《圣经·创世记》。这种世界观产生了一句名言：“自然界憎恶真空。”并让早期的科学家认为，真空一旦开始形成，就会产生一种力，不断吸入外界事物，直至填满自身。
在数学中，我们很早就习惯了“无”或“零”的概念，因此它过了那么长时间才首次出现在历史记载中，显得很奇怪。但事实是，数学诞生之初是一种纯实用的东西，用来记录你拥有、亏欠或借出多少东西，或者算出东西的大小。我有十八匹马或四十三只羊，如果分别买进或卖出一些，我会有多少。这就要有一种方式来计算。但我为什么要记录自己“没有某个东西”或者计算“建一座没有高度的墙需要多少块砖”呢？数学一开始就不是为了这些抽象问题存在的，它根植于真实的、日常的情况。数学是商人、政府簿记员和建筑师的工具，因此那时候数字的含义比现在的更具体。从八个具体的事物，如八罐橄榄油，到理解八个普遍的事物，再到理解抽象数字8，我们很容易忽略中间经历的巨大精神飞跃。我们处理“零”的手段还没有直接的明显用途。
我们的祖先最初创造数学时，先从正整数1、2、3……开始。0的出现要晚得多，演变过程也复杂多变。0有两种不同的功能：“在形式上占一个位置”和“与其他数一样表示大小”，这就使得追溯0的产生方式和时间也非常困难。例如在数字3075中，0只是让3处于正确的位置，表示“三千”，而不是“三百”。但当我们让0作为比1小的数字存在时，它的角色便截然不同了，必须作为有特定属性的数字加入算术之中。当其他数字和0相加、相乘甚至最有趣的相除时会发生什么情况？如何在“符号”和“命名”范畴中清楚地表示0是个大工程，这取决于我们将0用来占位，还是将其看成本身便有意义的数字。“零”这个名称也是“密码”（Cipher）一词的词根，顺便说一下，是源自阿拉伯语的sifr。
刻着楔形文字的泥板，上有0作为位置标记的符号
在数学里，零的概念最初是作为占位符出现的，用来明确一个多位数的值。位值数字系统，即通过一个数字所处的位置来表示数值的体系，至少可以追溯到四千年前巴比伦人开始运用它们的时候。但没有证据表明这些人也觉得有必要设置一个“占位符号”，至少很长一段时间是这样。大约公元前1700年的初始版本留存至今，是用楔形文字刻在泥板上的。这些泥板展现了巴比伦人如何表示数字并进行算术。那时的标记系统与现在大为不同，他们的数字系统是以六十进制而非十进制来计数。但可以明确的是，早期巴比伦人没有区分我们现在所写的，例如1036和136，只能通过上下文来判断。直到公元前700年左右，人们才像现在我们看待零那样，在体系中引入了一个位置标记的符号。在不同的时代和地区，巴比伦和美索不达米亚文明的泥板上可以看到一个、两个或三个楔形符号来表示我们今天的零。同样的想法之后在其他文明中相继出现，包括中国和玛雅文明，他们在计数系统中用空格的形式来表示零。
当我们用表示特定数值的符号而不是数字来进行数学运算时，没有“占位符号”的位值数字系统的缺点会更为凸显。罗马人就受这种方式困扰，这也许就是为什么我们读过很多关于罗马将军、政治家、战役以及治国理政和城市规划的灼见，但在数学领域却没有什么突破。罗马数学符号中用七个字母来表示数字：1用I来表示，5用V表示，10用X表示，50用L表示，100用C表示，500用D表示，1000用M表示。这些符号用起来非常麻烦：如数字1999在古罗马用MCMXCIX表示，大于5000的数字表示起来就更困难。用这样的符号体系来做算术是另一个大问题。对我们而言，计算47+72=119非常容易，但不妨试试让XLVII和LXXII相加。最简单的方法是将罗马数字符号转换成我们的十进制进行计算，再把结果转回罗马数字——CXIX。用罗马数字计算加法都要换来换去，要是计算乘法……
0作为数字，被发明（或者发现）的历史更短。首次发现0这种作用的是生活在公元前4世纪至前3世纪的印度学者平阿拉（PingaLa）。平阿拉用了一种基于二进制而非十进制的占位符号，因为二进制符号能让数字出现在梵文诗歌中。他还用梵文中表示“空”的词sunya来表示数字0。这个符号的现代形式最早出现在巴赫沙里的手稿中，上面的文字是用桦树皮写成的，1881年夏天在巴赫沙里村附近被发现。当时巴赫沙里村属于英国统治下的印度，不过现在位于巴基斯坦境内。手稿被发现时，大部分已经被毁，只有大约七十片树皮保存了下来，还有一些是残片。从我们收集到的信息来看，这个手稿似乎大部分是对早期数学的评论，列出了一些解决数学问题的技巧和规律，主要是关于算术和代数方面，也涉及一小部分几何学和测量学。这份手稿现在保存于牛津大学博德利图书馆，最近经过碳测定认定其年代为3世纪或4世纪，比之前认为的要早几个世纪。
后来到了7世纪，印度数学家婆罗摩笈多进一步巩固了0在数学中的数字地位。他制定了许多涉及0和负数（那个时代的另一项新发明）的算术规则。他制定的大部分规则我们现在都很熟悉，例如他提出0与负数的和是负数、正数与0的和是正数、0与0的和是0。
关于减法，他的规则我们今天仍在使用：0减去负数是正数，等等。但他在除法中遇到了困难：当0除以0，他认为结果应该是0，然而对于任何其他分数的值，不论0作分母还是作分子，对他来说都是一个谜。
婆罗摩笈多不会告诉我们8除以0等于多少。这并不奇怪，因为这个结果没法算出来。五百年后，另一位印度数学家和天文学家婆什迦罗在其巨著《天文系统之冠》（ Siddhānta Shiromani ）中称，当数字除以0，得数应该是“无限”。他以诗歌般的语言阐述了这个计算的哲学意义：
在以0作为除数的计算中，无论数字如何增增减减，总量都不会改变；正如世界创造或毁灭、众多秩序被吞没或新生，对于永恒无垠的神明都不会有任何影响。
婆什迦罗试图让0为除数的计算等于无限，这背后当然有一定的逻辑。毕竟，当我们用任何数（比如1）除以越来越小的数时，得到的结果越来越大。但如果 n /0=∞真的成立，其中 n 是任意有限数，那么反过来0乘以∞可以等于任意数，这不合理。事实上，数学中存在许多小漏洞：当你允许0作为除数，似乎可以由此证明1=2，或一般地说，任何数都可以等于另外一个数。为了避免这种混乱和不一致，数学家最终决定0不能作除数，更准确地来说，这是因为零作除数的结果是未定义的。
在现代数学中，有许多概念与零相关，但它们实际上并不等于零，“空集”就是其中一个。在集合理论中，空集无疑是没有成员的集合。这是一个与零不同的概念，最显而易见的是空集是集合而0是数字。但零是空集的元素数量或基数。集合也有运算规则，类似于算术中的加法和乘法，我们称之为并集和交集。两个集合的并集就是包含两个集合中所有元素的集合，交集就是同属于两个集合的所有元素的集合。其中，空集扮演的角色类似于零：任何集合与空集的并集等于集合本身（正如 x +0= x ），任何集合与空集的交集等于空集（正如 x ×0=0）。
在我们无限接近但永远达不到零的时候，一些与零有关的东西就会出现。例如这样一个序列：1、1/2、1/4、1/8……每个数字的大小是前一个数字的一半。我们通常会说这个序列的极限值——即它正在收敛到的值——就是零。但是，真的存在“无限接近”于零实际上又不等于零这种概念吗？实数系统包含了数轴上的所有数，但没有这个概念。在实数系统中我们的确可以找到尽可能小的各种数，但不管数字怎么小，一个不是零的数字始终是有限小的，而不是无限小。为了达到无限接近于零的目标，我们需要一种新的数字类型，超出我们的想象范围和传统的计算方法。
英国数学家约翰·康威正在寻找一种新方法来分析某些类型的游戏。他看剑桥大学数学系举办的英国围棋冠军赛时有了一些灵感。康威注意到，围棋的终局往往是一系列棋局的组合，而有些棋局的作用与数字类似。然后他发现，在无限棋局中，对局不断出现，就像一种新型的数字。这种数字后来被叫作“超现实数”。这个名字不是康威起的，而是美国数学家、计算机科学家高德纳在1974年的《超现实数：两个学生如何转向纯数学领域，并找到了真正的快乐》一书中创造的。这部中篇小说也是唯一一个例子，让一个重要的数学思想首次通过小说广为人知。
超现实数是一个令人难以置信的庞大数字群的成员。它包括所有的实数、一组无限大的数（称为无限序数）、一组由这些序数产生的无穷小数（无限小数），以及一些以前不属于已知数学领域的奇异数。事实证明，每个实数都被一大群比其他实数更靠近它的超现实数字包围。在0和“比0大的最小实数”这个模糊区域就存在一团超现实数，由无限小的数组成。这些无限小的数的值比数列1、1/2、1/4、1/8……中的任何数都小，不管我们从这个数列中取多小的数。其中一个超现实数是 ε ，我们可以将它定义为第一个比0大但比1、1/2、1/4、1/8……小的超现实数。
在高德纳的小说中，大学毕业生比尔和爱丽丝住在印度洋的小岛上，想逃离文明世界。他们见到一块黑色的石头，一半埋在沙子里，上面写着字。比尔读了出来：“起初，一切皆为虚空，直到上主康威创造数字。康威说：‘要有两条规则让所有数字分出大小……’。”
比尔和爱丽丝日复一日地研究石头上的铭文，学习如何建立一个全新的数字系统，这个系统将比他们之前想象的东西庞大得多。新系统的基本思想是，任何实数N可以用两组集合来表示：集合L（左）包含小于N的数字，集合R（右）包含大于N的数字（第六章会详细介绍）。根据康威描述的两条规则，石头解释了如何从一个空的左集和一个空的右集开始，创建数字0。通过这种方法我们可以继续创造更多数字——通过在一个数的左集中加入0或者在另一个数的右集中加入0……再用这些新数字创造出更多数字。最终，“超现实数”这个庞大的数字集合中的每个数都被创造出来了，包括无限小的数。
寻求最接近0的数字和寻求最接近无限大的数字很类似——仅用实数是无法表示的，毕竟无论选择多小的数字，总有更小的数字存在。对于大数也是如此：不论你找到多大的数，都会有比它更大的。幸运的是，在我们探索无限小和无限大的过程中，庞大而多样的数学宇宙允许我们创造出新的数字系统，让不可能的东西变为现实。
数学中有一个令人惊讶的事实，看起来让人有点费解，那就是0.999…=1。这似乎不符合常理，因为0.9，0.99…都小于1，那么0.999…（连续的9）也应该小于1。但是有很多方法可以证明0.999…=1。设 x =0.999…那么10 x =9.999…= x +9。减去 x 得到9 x =9，所以 x =1。这样，我们就证明出了0.999…=1。同理，1-0.999…的结果刚好为0，而不是某个非常小的实数，甚至不是“无限小”这个超现实数。
为了更好地理解这个奇怪的结果，我们需要知道0.999…或者其他用无限小数表示的实数代表着什么含义。在十进制中，π（3.14159…）表示的是3、3.1、3.14、3.141…这样一个无限延续的数列。同样，我们可以只用那些有终止小数序列的有理数来定义所有实数（不是所有有理数都有终止序列，如1/3）。0.999…是0.9、0.99、0.999…的极限，事实上就等于1。
超现实数给这个现象带来了全新的诠释。在超现实数中，只有一些特定的数是按照有限的步骤定义的。这就是所谓的二进有理数，它是分母为2的乘方的分数。因此，在处理这样的超现实数时，使用二进制更有意义。在二进制中，0.999…=0.111…也就是1/2+1/4+1/8+…，结果还是等于1。对于实数，我们知道在实数十进制（或者二进制）中无限意味着什么，但对于超现实数则是另一回事了。例如（为了简单起见我们用小数表示），π=3.14159…那么用超现实数该如何表示呢？无疑它大于3、3.1、3.14…，4也符合这个条件，在超现实数中仅凭这些数会得到结果4。同样，π肯定小于4、3.2、3.15等等，但在超现实数中只会得到3。因此，我们需要将两个集合同时放在一起确定π的准确值，它可以表示为{3，3.1，3.14，…|4，3.2，3.15，…}。
那么0.999...或者二进制的0.111...该怎样表示呢？在超现实数中（使用二进制），则是{0.1，0.11，0.111，…|1.0，1.00，1.000，…}数列L向1逼近，并且在实数中的确极限为1。而集合R只包含一个数，就是1。由此我们得出一个奇怪的结论：0.999…实际上是小于1的，并且其大小恰好等于1- ε ；而1.000…则比1大，等于1+ ε 。这也说明，在处理超现实数时，用十进制或者二进制来表示数字不够好，我们应该直接考虑集合L和R。
当艾萨克·牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨分别发明出微积分时，有个问题似乎一直存在。这就是，如何在不涉及0/0这种尚未定义的情况下表述愈来愈小的变化。早期批判牛顿微积分的乔治·贝克莱主教说：
这些流数
是什么？逐渐消失的增量的速率？那这逐渐消失的增量又是什么？它们不是有限的量，也不是无限小的量，它们什么都不是。难道我们不能称它们是逝去的量的幽灵吗？
在牛顿建立的体系中，某段时间间隔中的变化速率是能够被描述的，不论时间间隔多小，都可以清楚地看见这个数值正在不断趋近于一个具体的值。困难在于要在不诉诸无穷小的情况下证明这个值是一个真实的数值。牛顿用字母o表示一个任意小的数加到一个量 x 上以求得的变化率。然后，他删除了所有包含o的项，因为它们可以忽略不计。这些项的值尽管很小，却不等于0，怎么能简单地把它们消除呢？这是对这个证明方法最大的质疑。最后，当数学的其他部分都建立在坚实的逻辑上时，唯独微积分建立在人们自己的“规定”上，因为任何使微积分更加严谨的尝试都会面临两个选择：要么不可避免地引入0/0，要么将很小但又不是零的项直接忽略，直接视作零。
如今在微积分中，为了避免处理无限小，我们使用了“极限”这个概念，这是法国数学家和哲学家让·勒朗·达朗贝尔在18世纪中叶提出的一种方法。如果我们让一个变量（通常用 x 表示）无限接近某个数字但又没有达到它，那么极限就是我们指向的端点。这种方法可以使我们避免数学中一个极大的尴尬——发现自己正在除以0。假设我们在计算当 x 趋近于1时 x 2 -1除以 x -1等于什么。我们不能简单地代入 x =1然后快速得到结果，因为那样就会得到0/0。相反，我们必须让 x 一点一点接近1：当 x =0.5时，（ x 2 -1）/（ x -1）=1.5；当 x =0.9，（ x 2 -1）/（ x -1）=1.9；当 x =0.999时，（ x 2 -1）/（ x -1）=1.999，以此类推。在这种情形下，端点显然是2，尽管我们不能通过代入 x 的值立即求得最终的答案。这只是这个过程的极限。
在某种程度上，数学上越来越接近于零就像物理学家们不断努力创造一个越来越完美的真空——一个没有任何物质的空间。这种寻找真空的努力最早可以追溯到17世纪，当时，意大利物理学家和数学家埃万杰利斯塔·托里拆利了解到，不论多么强大的工人团队都不能用水泵把水抽到10米以上的垂直高度。1643年，托里拆利决定用水银代替水来做这个实验，因为水银的密度更大，所以它的高度就会小得多。他发现在这种情况下，水银的高度大约只有76厘米。然后，他拿起一根稍长于76厘米的管子，封住一端，装满水银，然后将倒置的管子放入一个同样装有水银的碗中。不论重复多少次，水银柱总是下降到76厘米。由于空气无法进入柱顶的空间——柱底的开口部分淹没在水银中——托里拆利推断自己制造出了真空。可以肯定，这虽然不是一个完美的真空（比如会含有少许汞蒸汽等），但它足以反驳一个古老的哲学命题：自然界憎恶真空。
圆柱的总高度并不影响水银柱的高度，但当托里拆利在半山腰做同样的实验时，他注意到水银柱的高度要低一些。托里拆利意识到，水银柱落下是空气在推动，而不是真空在吸引，他由此得出结论：“我们生活在空气这个海洋的底部。”他的发现是对亚里士多德（以及中世纪教会）世界观的最后一击。为了回应真空不可能存在的说法，托里拆利直接创造了一个真空。
托里拆利的水银实验，驳斥了“大自然憎恶真空”的说法
但时代在前进。在经典物理学中，也就是20世纪之前的物理学中，牛顿、托里拆利和其他科学家们都以为完美真空在理论上是可能存在的。我们可能缺少从密封容器中去除所有空气分子的技术，但至少可以设想做到这一点。当我们抽掉所有空气，剩下的将会是一个没有任何物质粒子的空间。然而，随着量子力学的诞生（第九章的主题），所有关于空间和时间、物质和能量的先入为主的概念都被打碎了。从这个物理学新视野出发，我们认识到我们永远不可能实现真正的真空——一个绝对没有任何物质粒子或能量的地方。
所谓的量子真空，也就是我们生活的空间所能达到的极限，它充满了粒子。这些物质不是电子、质子、中子、原子、离子和分子等组成的我们所看到的传统物理宇宙的物质，而是“虚拟粒子”。若是没有被人观察到，这些短暂的生命会自发地出现和离开，然后再次消失，不留任何痕迹。量子力学中的海森堡测不准原理能够证明虚拟粒子的存在，该原理认为我们无法确切地知道一个粒子的位置和动量：你越精确地测量一个粒子的位置，能获得的关于它的动量的信息就越少。同样的道理也适用于能量和时间的关系：你对能量的测量越精确，对时间的测量就越不准确。根据海森堡原理，能量的测量总是存在不确定性（根据著名的等式 E = mc 2 ，能量和质量等价），因此粒子可以在我们有机会观察它们之前突然短暂地出现，然后消失。量子真空中充斥着来来去去的虚拟粒子，这使得人们永远不可能实现传统意义上的“完美真空”。
是否正是这样的量子涨落——一个粒子从虚无中自发出现——催生了整个宇宙呢？现代宇宙学家引用这样的观点来解释我们周围所见的一切事物最初是如何产生的：刚开始什么也没有，然后下一刻，一个量子抖动让整个宇宙开始运动起来。这是一个有趣的想法：用现代视角来看待过去虚无的创造之谜。但仍有许多疑团没有解开，例如，在宇宙诞生之前，一定还有什么东西已经存在。虚空——物理世界的零——无法存在。即使没有任何物质存在，至少量子物理定律，以及最终在其背后的数学定律等是存在的，有了这些定律，就能实现从无到有。