二、二次函数图像与一元二次方程的关系

例题精析

已知二次函数 y ＝ ax ² + bx + c （ a ≠0）的图象如图所示，有下列 5 个结论：

① abc ＞0；

② b ² ＜4 ac ；

③2 c ＜3 b ；

④ a +2 b ＞ m （ am + b ）（ m ≠1）；

⑤若方程| ax ² + bx + c |＝1 有四个根，则这四个根的和为 2，

其中正确的结论有（ ）

A. 2 个

B. 3 个

C. 4 个

D. 5 个

解：∵抛物线开口向下，

∴ a ＜0，

∵抛物线对称轴为直线 ，

∴ b ＝-2 a ＞0，

∵抛物线与 y 轴交点在 x 轴上方，

∴ c ＞0，

∴ abc ＜0，①错误.

∵抛物线与 x 轴有 2 个交点，

∴Δ＝ b ² -4 ac ＞0，

∴ b ² ＞4 ac ，②错误.

∵ x ＝-1 时， y ＜0，

∴ a - b + c ＜0，

∵ b ＝-2 a ，

∴ a ＝- ，

∴- b + c ＜0，

∴2 c ＜3 b ，③正确.

∵ x ＝1 时， y ＝ a + b + c 为函数最大值，

∴ a + b + c ＞ m （ am + b ）+ c （ m ≠1），

∴ a + b ＞ m （ am + b ）（ m ≠1），

∵ b ＞0，

∴ a +2 b ＞ a + b ＞ m （ am + b ）（ m ≠1），④正确.

方程| ax ² + bx + c |＝1 的四个根分别为 ax ² + bx + c ＝1 和 ax ² + bx + c ＝-1 的根，

∵抛物线 y ＝ ax ² + bx + c 关于直线 x ＝1 对称，

∴抛物线与直线 y ＝1 的交点的横坐标为之和为 2，

抛物线与直线 y ＝-1 的交点横坐标为之和为 2，

∴方程| ax ² + bx + c |＝1 的四个根的和为 4，⑤错误.

故选： A .

精析一

如图，二次函数 y ＝ ax ² + bx + c （ a ≠0）的图象与 x 轴交于点 A （3，0），与 y 轴的交点 B 在（0，3）与（0，4）之间（不包括这两点），对称轴为直线 x ＝1. 下列结论：① abc ＜0；② ；③ ；④若 x ₁ ， x ₂ （ x ₁ ＜ x ₂ ）是方程 ax ² + bx + c ＝ m （ m ＜0）的两个根，则有 x ₁ ＜-1＜3＜ x ₂ . 其中正确结论的个数是（ ）

A. 1 个

B. 2 个

C. 3 个

精析二

已知二次函数 y ＝ ax ² + bx + c （ a ＞0）的图象与 x 轴负半轴交于 A ， B 两点，与 y 轴的正半轴交于点 C ，它的对称轴为直线 x ＝-1，有下列结论：① abc ＜0；② c - a ＞0；③当 x ＝- k ² -2（ k 为任意实数）时， y ≥ c ；④若 x ₁ ， x ₂ （ x ₁ ＜ x ₂ ）是方程 ax ² + bx + c ＝0 的两根，则方程 a （ x - x ₁ ）（ x - x ₂ ）-1＝0 的两根 m ， n （ m ＜ n ）满足 m ＜ x ₁ 且 n ＞ x ₂ ；其中，正确结论的个数是（ ）

A. 1 个

B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个

精析三

已知二次函数 y ＝ ax ² + bx + c ＝ a （ x +2）（ x - t ）（ a 为非零常数，1＜ t ＜2），图象与 y 轴负半轴的交点在点（0，-2）的上方，有下列结论：

① a ＞ b ＞0；

②关于 x 的方程 ax ² +（ b -1） x + c +2＝0 有两个不相等的实数根；

③2 a - b -1＜0.

其中，正确结论的个数是（ ）

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0 /Z7asME5LffNKQXynMynSX3zGhZQI876azqZzGCAUwesVqHTt1Eb9RKUI5mGvouw