五、手拉手模型

四线共点，两两相等，夹角相等.

条件：如图， OA = OB ， OC = OD （四线共点，两两相等），∠ AOB =∠ COD （夹角相等）

结论：△ OAC ≌△ OBD （ SAS ）

常见的等边三角形和正方形.

1. 等边三角形手拉手

（1）如图， B 、 C 、 D 三点共线，△ ABC 和△ CDE 是等边三角形，连接 AD 、 BE ，交于点 P ：

结论一：△ ACD ≌△ BCE

证明： △ ACD ≌△ BCE （ SAS ）

（2）记 AC 、 BE 交点为 M ， AD 、 CE 交点为 N ：

结论二：△ ACN ≌△ BCM ；△ MCE ≌△ NCD

证明： △ ACN ≌△ BCM （ SAS ）；

（3）连接 MN ：

结论三：△ MNC 是等边三角形.

证明： △ MCN 是等边三角形.

（4）记 AD 、 BE 交点为 P ，连接 PC ：

结论四： PC 平分∠ BPD

证明：△ BCE ≌△ ACD → CG = CH → PC 平分∠ BPD .

（5）结论五：∠ APB =∠ BPC =∠ CPD =∠ DPE =60°.

（6）连接 AE ：

结论六： P 点是△ ACE 的费马点（ PA + PC + PE 值最小）

2. 正方形手拉手

如图，四边形 ABCD 和四边形 CEFG 均为正方形，连接 BE 、 DG ：

结论一：△ BCE ≌△ DCG

证明： △ BCE ≌△ DCG （ SAS ）

结论二： BE = DG ， BE ⊥ DG

证明：△ BCE ≌△ DCG → BE = DG ；

∠ CBE ＝∠ CDG →∠ DHB =∠ BCD =90°（旋转角都相等）

精析一

如图，正方形 ABCD 的边长是 ，对角线的交点为 O ，点 E 在边 CD 上且 CE ＝ CF ⊥ BE ，连接 OF ，则 OF ＝____________.

精析二

如图，在正方形 ABCD 中，点 F 在边 CD 的延长线上，点 E 是边 BC 上的一点，且 BE ＝ DF ，连接 EF 交边 AD 于点 G . 过点 A 作 AN ⊥ EF ，垂足为点 M ，交边 CD 于点 N . 若 BE ＝5， CN ＝8，则线段 AN 的长为____________.

精析三

如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， E 是 BC 边的中点， F 是直线 DE 上的动点. 连接 CF ，将线段 CF 逆时针旋转 90°得到 CG ，连接 EG ，则 EG 的最小值是____________. T5RMiO6w9ubIl7qX0c5m1zvzojyRwYYjuc3EoLXsaI4QqKKwKMrJs4hVj20tL4am